Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10625 / 15745
↖ ↑ ↗
← N 67.873473°
W121.635132°		 ← 230.08 m → N 67.873473°
W121.629639°		 →
↑
230.06 m
↓
↑
230.06 m
↓
N 67.871404°
W121.635132°		 ← 230.10 m →
52 934 m²		 N 67.871404°
W121.629639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162132263183594 y=0.240257263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162132263183594 × 216)
    floor (0.162132263183594 × 65536)
    floor (10625.5)     		tx = 10625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240257263183594 × 216)
    floor (0.240257263183594 × 65536)
    floor (15745.5)     		ty = 15745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10625 / 15745 ti = "16/10625/15745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10625/15745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10625 ÷ 216
    10625 ÷ 65536     		x = 0.162124633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15745 ÷ 216
    15745 ÷ 65536     		y = 0.240249633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162124633789062 × 2 - 1) × π
    -0.675750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12293354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240249633789062 × 2 - 1) × π
    0.519500732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.63205968446443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12293354} λ = -2.12293354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63205968446443))-π/2
    2×atan(5.1143979235236)-π/2
    2×1.37770594764079-π/2
    2.75541189528159-1.57079632675     		φ = 1.18461557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12293354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.635132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18461557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.873473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10625 KachelY 15745 -2.12293354 1.18461557 -121.635132 67.873473
    Oben rechts KachelX + 1 10626 KachelY 15745 -2.12283766 1.18461557 -121.629639 67.873473
    Unten links KachelX 10625 KachelY + 1 15746 -2.12293354 1.18457946 -121.635132 67.871404
    Unten rechts KachelX + 1 10626 KachelY + 1 15746 -2.12283766 1.18457946 -121.629639 67.871404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18461557-1.18457946) × R
    3.61100000001446e-05 × 6371000     		dl = 230.056810000921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18461557-1.18457946) × R
    3.61100000001446e-05 × 6371000     		dr = 230.056810000921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12293354--2.12283766) × cos(1.18461557) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376653198240369 × 6371000     		do = 230.079163591712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12293354--2.12283766) × cos(1.18457946) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376686648650111 × 6371000     		du = 230.09959682401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18461557)-sin(1.18457946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376653198240369-0.376686648650111)×R²
    abs(-2.12283766--2.12293354)×3.34504097429522e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34504097429522e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34504097429522e-05×40589641000000     		ar = 52933.6288317511m²