Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106246 / 42726
↖ ↑ ↗
← N 52.951948°
E111.813354°		 ← 184.01 m → N 52.951948°
E111.816101°		 →
↑
183.99 m
↓
↑
183.99 m
↓
N 52.950293°
E111.813354°		 ← 184.02 m →
33 858 m²		 N 52.950293°
E111.816101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810596466064453 y=0.325977325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810596466064453 × 217)
    floor (0.810596466064453 × 131072)
    floor (106246.5)     		tx = 106246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325977325439453 × 217)
    floor (0.325977325439453 × 131072)
    floor (42726.5)     		ty = 42726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106246 / 42726 ti = "17/106246/42726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106246/42726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106246 ÷ 217
    106246 ÷ 131072     		x = 0.810592651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42726 ÷ 217
    42726 ÷ 131072     		y = 0.325973510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810592651367188 × 2 - 1) × π
    0.621185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95151118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325973510742188 × 2 - 1) × π
    0.348052978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09344068033348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95151118} λ = 1.95151118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09344068033348))-π/2
    2×atan(2.98452522422588)-π/2
    2×1.24749107850582-π/2
    2.49498215701163-1.57079632675     		φ = 0.92418583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95151118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.813354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92418583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.951948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106246 KachelY 42726 1.95151118 0.92418583 111.813354 52.951948
    Oben rechts KachelX + 1 106247 KachelY 42726 1.95155912 0.92418583 111.816101 52.951948
    Unten links KachelX 106246 KachelY + 1 42727 1.95151118 0.92415695 111.813354 52.950293
    Unten rechts KachelX + 1 106247 KachelY + 1 42727 1.95155912 0.92415695 111.816101 52.950293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92418583-0.92415695) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dl = 183.994480000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92418583-0.92415695) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dr = 183.994480000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95151118-1.95155912) × cos(0.92418583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602484605907175 × 6371000     		do = 184.014306597687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95151118-1.95155912) × cos(0.92415695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602507655664843 × 6371000     		du = 184.021346586979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92418583)-sin(0.92415695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602484605907175-0.602507655664843)×R²
    abs(1.95155912-1.95151118)×2.30497576678701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30497576678701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30497576678701e-05×40589641000000     		ar = 33858.2643170108m²