Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106239 / 53501
↖ ↑ ↗
← N 31.360673°
E111.794129°		 ← 260.75 m → N 31.360673°
E111.796875°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
N 31.358328°
E111.794129°		 ← 260.76 m →
67 996 m²		 N 31.358328°
E111.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810543060302734 y=0.408184051513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810543060302734 × 217)
    floor (0.810543060302734 × 131072)
    floor (106239.5)     		tx = 106239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408184051513672 × 217)
    floor (0.408184051513672 × 131072)
    floor (53501.5)     		ty = 53501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106239 / 53501 ti = "17/106239/53501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106239/53501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106239 ÷ 217
    106239 ÷ 131072     		x = 0.810539245605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53501 ÷ 217
    53501 ÷ 131072     		y = 0.408180236816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810539245605469 × 2 - 1) × π
    0.621078491210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.95117563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408180236816406 × 2 - 1) × π
    0.183639526367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.576920586927376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95117563} λ = 1.95117563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576920586927376))-π/2
    2×atan(1.78054694028153)-π/2
    2×1.05907166480813-π/2
    2.11814332961626-1.57079632675     		φ = 0.54734700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95117563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.794129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54734700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.360673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106239 KachelY 53501 1.95117563 0.54734700 111.794129 31.360673
    Oben rechts KachelX + 1 106240 KachelY 53501 1.95122356 0.54734700 111.796875 31.360673
    Unten links KachelX 106239 KachelY + 1 53502 1.95117563 0.54730607 111.794129 31.358328
    Unten rechts KachelX + 1 106240 KachelY + 1 53502 1.95122356 0.54730607 111.796875 31.358328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54734700-0.54730607) × R
    4.09300000000501e-05 × 6371000     		dl = 260.765030000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54734700-0.54730607) × R
    4.09300000000501e-05 × 6371000     		dr = 260.765030000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95117563-1.95122356) × cos(0.54734700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.853908209444804 × 6371000     		do = 260.75114426989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95117563-1.95122356) × cos(0.54730607) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.853929509669309 × 6371000     		du = 260.757648549685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54734700)-sin(0.54730607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853908209444804-0.853929509669309)×R²
    abs(1.95122356-1.95117563)×2.13002245056382e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13002245056382e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13002245056382e-05×40589641000000     		ar = 67995.6280119775m²