Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106232 / 42824
↖ ↑ ↗
← N 52.789476°
E111.774903°		 ← 184.67 m → N 52.789476°
E111.777649°		 →
↑
184.70 m
↓
↑
184.70 m
↓
N 52.787815°
E111.774903°		 ← 184.67 m →
34 108 m²		 N 52.787815°
E111.777649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810489654541016 y=0.326725006103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810489654541016 × 217)
    floor (0.810489654541016 × 131072)
    floor (106232.5)     		tx = 106232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326725006103516 × 217)
    floor (0.326725006103516 × 131072)
    floor (42824.5)     		ty = 42824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106232 / 42824 ti = "17/106232/42824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106232/42824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106232 ÷ 217
    106232 ÷ 131072     		x = 0.81048583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42824 ÷ 217
    42824 ÷ 131072     		y = 0.32672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81048583984375 × 2 - 1) × π
    0.6209716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95084007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32672119140625 × 2 - 1) × π
    0.3465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08874286417072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95084007} λ = 1.95084007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08874286417072))-π/2
    2×atan(2.97053735533301)-π/2
    2×1.24607324303632-π/2
    2.49214648607264-1.57079632675     		φ = 0.92135016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95084007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.774903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92135016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.789476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106232 KachelY 42824 1.95084007 0.92135016 111.774903 52.789476
    Oben rechts KachelX + 1 106233 KachelY 42824 1.95088800 0.92135016 111.777649 52.789476
    Unten links KachelX 106232 KachelY + 1 42825 1.95084007 0.92132117 111.774903 52.787815
    Unten rechts KachelX + 1 106233 KachelY + 1 42825 1.95088800 0.92132117 111.777649 52.787815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92135016-0.92132117) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dl = 184.695290000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92135016-0.92132117) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dr = 184.695290000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95084007-1.95088800) × cos(0.92135016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604745415302118 × 6371000     		do = 184.666287649961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95084007-1.95088800) × cos(0.92132117) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604768503230421 × 6371000     		du = 184.673337826616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92135016)-sin(0.92132117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604745415302118-0.604768503230421)×R²
    abs(1.95088800-1.95084007)×2.30879283024121e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30879283024121e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30879283024121e-05×40589641000000     		ar = 34107.6446203313m²