Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10623 / 6529
↖ ↑ ↗
← N 80.759733°
W121.646118°		 ← 98.08 m → N 80.759733°
W121.640625°		 →
↑
98.11 m
↓
↑
98.11 m
↓
N 80.758850°
W121.646118°		 ← 98.09 m →
9 623 m²		 N 80.758850°
W121.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162101745605469 y=0.0996322631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162101745605469 × 216)
    floor (0.162101745605469 × 65536)
    floor (10623.5)     		tx = 10623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0996322631835938 × 216)
    floor (0.0996322631835938 × 65536)
    floor (6529.5)     		ty = 6529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10623 / 6529 ti = "16/10623/6529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10623/6529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10623 ÷ 216
    10623 ÷ 65536     		x = 0.162094116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6529 ÷ 216
    6529 ÷ 65536     		y = 0.0996246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162094116210938 × 2 - 1) × π
    -0.675811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12312528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0996246337890625 × 2 - 1) × π
    0.800750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51563261826131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12312528} λ = -2.12312528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51563261826131))-π/2
    2×atan(12.3744345967729)-π/2
    2×1.49015978258321-π/2
    2.98031956516641-1.57079632675     		φ = 1.40952324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12312528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.646118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40952324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.759733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10623 KachelY 6529 -2.12312528 1.40952324 -121.646118 80.759733
    Oben rechts KachelX + 1 10624 KachelY 6529 -2.12302941 1.40952324 -121.640625 80.759733
    Unten links KachelX 10623 KachelY + 1 6530 -2.12312528 1.40950784 -121.646118 80.758850
    Unten rechts KachelX + 1 10624 KachelY + 1 6530 -2.12302941 1.40950784 -121.640625 80.758850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40952324-1.40950784) × R
    1.53999999998877e-05 × 6371000     		dl = 98.1133999992847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40952324-1.40950784) × R
    1.53999999998877e-05 × 6371000     		dr = 98.1133999992847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12312528--2.12302941) × cos(1.40952324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1605749031853 × 6371000     		do = 98.0771870345131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12312528--2.12302941) × cos(1.40950784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160590103330584 × 6371000     		du = 98.0864710973546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40952324)-sin(1.40950784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1605749031853-0.160590103330584)×R²
    abs(-2.12302941--2.12312528)×1.52001452838335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52001452838335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52001452838335e-05×40589641000000     		ar = 9623.14172808998m²