Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10623 / 12159
↖ ↑ ↗
← S 65.357677°
E 53.415527°		 ← 1 018.73 m → S 65.357677°
E 53.437500°		 →
↑
1 018.60 m
↓
↑
1 018.60 m
↓
S 65.366837°
E 53.415527°		 ← 1 018.38 m →
1 037 494 m²		 S 65.366837°
E 53.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648406982421875 y=0.742156982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648406982421875 × 214)
    floor (0.648406982421875 × 16384)
    floor (10623.5)     		tx = 10623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742156982421875 × 214)
    floor (0.742156982421875 × 16384)
    floor (12159.5)     		ty = 12159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10623 / 12159 ti = "14/10623/12159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10623/12159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10623 ÷ 214
    10623 ÷ 16384     		x = 0.64837646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12159 ÷ 214
    12159 ÷ 16384     		y = 0.74212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64837646484375 × 2 - 1) × π
    0.2967529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93227682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.4842529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5213254463421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93227682} λ = 0.93227682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5213254463421))-π/2
    2×atan(0.218422188114224)-π/2
    2×0.21504483638591-π/2
    0.43008967277182-1.57079632675     		φ = -1.14070665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93227682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.415527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14070665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.357677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10623 KachelY 12159 0.93227682 -1.14070665 53.415527 -65.357677
    Oben rechts KachelX + 1 10624 KachelY 12159 0.93266032 -1.14070665 53.437500 -65.357677
    Unten links KachelX 10623 KachelY + 1 12160 0.93227682 -1.14086653 53.415527 -65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 10624 KachelY + 1 12160 0.93266032 -1.14086653 53.437500 -65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14070665--1.14086653) × R
    0.000159880000000001 × 6371000     		dl = 1018.59548000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14070665--1.14086653) × R
    0.000159880000000001 × 6371000     		dr = 1018.59548000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93227682-0.93266032) × cos(-1.14070665) × R
    0.000383499999999981 × 0.416952313887981 × 6371000     		do = 1018.7306240477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93227682-0.93266032) × cos(-1.14086653) × R
    0.000383499999999981 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 1018.3755551007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14070665)-sin(-1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416952313887981-0.416806989093035)×R²
    abs(0.93266032-0.93227682)×0.000145324794945723×R²
    0.000383499999999981×0.000145324794945723×6371000²
    0.000383499999999981×0.000145324794945723×40589641000000     		ar = 1037493.57539037m²