Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106229 / 44818
↖ ↑ ↗
← N 49.350177°
E111.766663°		 ← 198.92 m → N 49.350177°
E111.769409°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
N 49.348388°
E111.766663°		 ← 198.93 m →
39 580 m²		 N 49.348388°
E111.769409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810466766357422 y=0.341938018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810466766357422 × 217)
    floor (0.810466766357422 × 131072)
    floor (106229.5)     		tx = 106229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341938018798828 × 217)
    floor (0.341938018798828 × 131072)
    floor (44818.5)     		ty = 44818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106229 / 44818 ti = "17/106229/44818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106229/44818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106229 ÷ 217
    106229 ÷ 131072     		x = 0.810462951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44818 ÷ 217
    44818 ÷ 131072     		y = 0.341934204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810462951660156 × 2 - 1) × π
    0.620925903320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.95069626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341934204101562 × 2 - 1) × π
    0.316131591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.993156686328323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95069626} λ = 1.95069626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993156686328323))-π/2
    2×atan(2.69974327816432)-π/2
    2×1.21605970454239-π/2
    2.43211940908478-1.57079632675     		φ = 0.86132308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95069626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.766663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86132308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.350177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106229 KachelY 44818 1.95069626 0.86132308 111.766663 49.350177
    Oben rechts KachelX + 1 106230 KachelY 44818 1.95074419 0.86132308 111.769409 49.350177
    Unten links KachelX 106229 KachelY + 1 44819 1.95069626 0.86129185 111.766663 49.348388
    Unten rechts KachelX + 1 106230 KachelY + 1 44819 1.95074419 0.86129185 111.769409 49.348388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86132308-0.86129185) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dl = 198.96633000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86132308-0.86129185) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dr = 198.96633000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95069626-1.95074419) × cos(0.86132308) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.651434211059393 × 6371000     		do = 198.923273100667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95069626-1.95074419) × cos(0.86129185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.651457905102808 × 6371000     		du = 198.930508361862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86132308)-sin(0.86129185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651434211059393-0.651457905102808)×R²
    abs(1.95074419-1.95069626)×2.36940434141797e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36940434141797e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36940434141797e-05×40589641000000     		ar = 39579.7533902103m²