Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106226 / 44816
↖ ↑ ↗
← N 49.353756°
E111.758423°		 ← 198.91 m → N 49.353756°
E111.761169°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
N 49.351967°
E111.758423°		 ← 198.92 m →
39 577 m²		 N 49.351967°
E111.761169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810443878173828 y=0.341922760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810443878173828 × 217)
    floor (0.810443878173828 × 131072)
    floor (106226.5)     		tx = 106226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341922760009766 × 217)
    floor (0.341922760009766 × 131072)
    floor (44816.5)     		ty = 44816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106226 / 44816 ti = "17/106226/44816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106226/44816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106226 ÷ 217
    106226 ÷ 131072     		x = 0.810440063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44816 ÷ 217
    44816 ÷ 131072     		y = 0.3419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810440063476562 × 2 - 1) × π
    0.620880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95055245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3419189453125 × 2 - 1) × π
    0.316162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.993252560127563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95055245} λ = 1.95055245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993252560127563))-π/2
    2×atan(2.70000212521749)-π/2
    2×1.21609093114295-π/2
    2.43218186228589-1.57079632675     		φ = 0.86138554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95055245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.758423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86138554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.353756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106226 KachelY 44816 1.95055245 0.86138554 111.758423 49.353756
    Oben rechts KachelX + 1 106227 KachelY 44816 1.95060038 0.86138554 111.761169 49.353756
    Unten links KachelX 106226 KachelY + 1 44817 1.95055245 0.86135431 111.758423 49.351967
    Unten rechts KachelX + 1 106227 KachelY + 1 44817 1.95060038 0.86135431 111.761169 49.351967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86138554-0.86135431) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dl = 198.96633000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86138554-0.86135431) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dr = 198.96633000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95055245-1.95060038) × cos(0.86138554) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.651386821066532 × 6371000     		do = 198.908801996245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95055245-1.95060038) × cos(0.86135431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.651410516380627 × 6371000     		du = 198.916037645458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86138554)-sin(0.86135431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651386821066532-0.651410516380627)×R²
    abs(1.95060038-1.95055245)×2.36953140954066e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36953140954066e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36953140954066e-05×40589641000000     		ar = 39576.8741665754m²