Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106220 / 44820
↖ ↑ ↗
← N 49.346599°
E111.741943°		 ← 198.98 m → N 49.346599°
E111.744690°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
N 49.344809°
E111.741943°		 ← 198.99 m →
39 591 m²		 N 49.344809°
E111.744690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810398101806641 y=0.341953277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810398101806641 × 217)
    floor (0.810398101806641 × 131072)
    floor (106220.5)     		tx = 106220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341953277587891 × 217)
    floor (0.341953277587891 × 131072)
    floor (44820.5)     		ty = 44820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106220 / 44820 ti = "17/106220/44820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106220/44820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106220 ÷ 217
    106220 ÷ 131072     		x = 0.810394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44820 ÷ 217
    44820 ÷ 131072     		y = 0.341949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810394287109375 × 2 - 1) × π
    0.62078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95026482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341949462890625 × 2 - 1) × π
    0.31610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.993060812529083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95026482} λ = 1.95026482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993060812529083))-π/2
    2×atan(2.6994844559266)-π/2
    2×1.21602847567033-π/2
    2.43205695134066-1.57079632675     		φ = 0.86126062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95026482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.741943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86126062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.346599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106220 KachelY 44820 1.95026482 0.86126062 111.741943 49.346599
    Oben rechts KachelX + 1 106221 KachelY 44820 1.95031276 0.86126062 111.744690 49.346599
    Unten links KachelX 106220 KachelY + 1 44821 1.95026482 0.86122939 111.741943 49.344809
    Unten rechts KachelX + 1 106221 KachelY + 1 44821 1.95031276 0.86122939 111.744690 49.344809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86126062-0.86122939) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dl = 198.96633000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86126062-0.86122939) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dr = 198.96633000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95026482-1.95031276) × cos(0.86126062) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.651481598510847 × 6371000     		do = 198.979249322349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95026482-1.95031276) × cos(0.86122939) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.651505291283487 × 6371000     		du = 198.986485704966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86126062)-sin(0.86122939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651481598510847-0.651505291283487)×R²
    abs(1.95031276-1.95026482)×2.36927726404712e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.36927726404712e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.36927726404712e-05×40589641000000     		ar = 39590.8908852772m²