Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10622 / 22912
↖ ↑ ↗
← S 58.077876°
W 63.303223°		 ← 645.96 m → S 58.077876°
W 63.292236°		 →
↑
645.89 m
↓
↑
645.89 m
↓
S 58.083685°
W 63.303223°		 ← 645.86 m →
417 187 m²		 S 58.083685°
W 63.292236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324172973632812 y=0.699234008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324172973632812 × 215)
    floor (0.324172973632812 × 32768)
    floor (10622.5)     		tx = 10622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699234008789062 × 215)
    floor (0.699234008789062 × 32768)
    floor (22912.5)     		ty = 22912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10622 / 22912 ti = "15/10622/22912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10622/22912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10622 ÷ 215
    10622 ÷ 32768     		x = 0.32415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22912 ÷ 215
    22912 ÷ 32768     		y = 0.69921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.3516845703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.10484966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69921875 × 2 - 1) × π
    -0.3984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25172832287891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10484966} λ = -1.10484966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25172832287891))-π/2
    2×atan(0.286010051727681)-π/2
    2×0.278573081686758-π/2
    0.557146163373516-1.57079632675     		φ = -1.01365016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10484966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01365016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.077876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10622 KachelY 22912 -1.10484966 -1.01365016 -63.303223 -58.077876
    Oben rechts KachelX + 1 10623 KachelY 22912 -1.10465791 -1.01365016 -63.292236 -58.077876
    Unten links KachelX 10622 KachelY + 1 22913 -1.10484966 -1.01375154 -63.303223 -58.083685
    Unten rechts KachelX + 1 10623 KachelY + 1 22913 -1.10465791 -1.01375154 -63.292236 -58.083685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01365016--1.01375154) × R
    0.000101379999999818 × 6371000     		dl = 645.891979998839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01365016--1.01375154) × R
    0.000101379999999818 × 6371000     		dr = 645.891979998839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10484966--1.10465791) × cos(-1.01365016) × R
    0.000191749999999935 × 0.528766113348559 × 6371000     		do = 645.96143813633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10484966--1.10465791) × cos(-1.01375154) × R
    0.000191749999999935 × 0.52868006257459 × 6371000     		du = 645.856315133356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01365016)-sin(-1.01375154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528766113348559-0.52868006257459)×R²
    abs(-1.10465791--1.10484966)×8.60507739696148e-05×R²
    0.000191749999999935×8.60507739696148e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.60507739696148e-05×40589641000000     		ar = 417187.363585693m²