Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106218 / 99918
↖ ↑ ↗
← S 68.218485°
E111.736450°		 ← 113.33 m → S 68.218485°
E111.739197°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
S 68.219504°
E111.736450°		 ← 113.33 m →
12 845 m²		 S 68.219504°
E111.739197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810382843017578 y=0.762317657470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810382843017578 × 217)
    floor (0.810382843017578 × 131072)
    floor (106218.5)     		tx = 106218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762317657470703 × 217)
    floor (0.762317657470703 × 131072)
    floor (99918.5)     		ty = 99918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106218 / 99918 ti = "17/106218/99918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106218/99918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106218 ÷ 217
    106218 ÷ 131072     		x = 0.810379028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99918 ÷ 217
    99918 ÷ 131072     		y = 0.762313842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810379028320312 × 2 - 1) × π
    0.620758056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95016895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762313842773438 × 2 - 1) × π
    -0.524627685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64816648273677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95016895} λ = 1.95016895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64816648273677))-π/2
    2×atan(0.192402358456302)-π/2
    2×0.19007957635357-π/2
    0.380159152707139-1.57079632675     		φ = -1.19063717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95016895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.736450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19063717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.218485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106218 KachelY 99918 1.95016895 -1.19063717 111.736450 -68.218485
    Oben rechts KachelX + 1 106219 KachelY 99918 1.95021689 -1.19063717 111.739197 -68.218485
    Unten links KachelX 106218 KachelY + 1 99919 1.95016895 -1.19065496 111.736450 -68.219504
    Unten rechts KachelX + 1 106219 KachelY + 1 99919 1.95021689 -1.19065496 111.739197 -68.219504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19063717--1.19065496) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19063717--1.19065496) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95016895-1.95021689) × cos(-1.19063717) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.371068268001419 × 6371000     		do = 113.333800345302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95016895-1.95021689) × cos(-1.19065496) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.371051748049267 × 6371000     		du = 113.328754726692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19063717)-sin(-1.19065496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371068268001419-0.371051748049267)×R²
    abs(1.95021689-1.95016895)×1.65199521514059e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.65199521514059e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.65199521514059e-05×40589641000000     		ar = 12844.9771960314m²