Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106216 / 100008
↖ ↑ ↗
← S 68.310027°
E111.730957°		 ← 112.86 m → S 68.310027°
E111.733703°		 →
↑
112.83 m
↓
↑
112.83 m
↓
S 68.311042°
E111.730957°		 ← 112.85 m →
12 733 m²		 S 68.311042°
E111.733703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810367584228516 y=0.763004302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810367584228516 × 217)
    floor (0.810367584228516 × 131072)
    floor (106216.5)     		tx = 106216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763004302978516 × 217)
    floor (0.763004302978516 × 131072)
    floor (100008.5)     		ty = 100008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106216 / 100008 ti = "17/106216/100008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106216/100008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106216 ÷ 217
    106216 ÷ 131072     		x = 0.81036376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100008 ÷ 217
    100008 ÷ 131072     		y = 0.76300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81036376953125 × 2 - 1) × π
    0.6207275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95007308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76300048828125 × 2 - 1) × π
    -0.5260009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65248080370258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95007308} λ = 1.95007308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65248080370258))-π/2
    2×atan(0.191574060982705)-π/2
    2×0.189280724188691-π/2
    0.378561448377381-1.57079632675     		φ = -1.19223488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95007308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.730957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19223488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.310027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106216 KachelY 100008 1.95007308 -1.19223488 111.730957 -68.310027
    Oben rechts KachelX + 1 106217 KachelY 100008 1.95012101 -1.19223488 111.733703 -68.310027
    Unten links KachelX 106216 KachelY + 1 100009 1.95007308 -1.19225259 111.730957 -68.311042
    Unten rechts KachelX + 1 106217 KachelY + 1 100009 1.95012101 -1.19225259 111.733703 -68.311042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19223488--1.19225259) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dl = 112.83041000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19223488--1.19225259) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dr = 112.83041000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95007308-1.95012101) × cos(-1.19223488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369584152587885 × 6371000     		do = 112.856967090135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95007308-1.95012101) × cos(-1.19225259) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369567696446393 × 6371000     		du = 112.851942009363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19223488)-sin(-1.19225259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369584152587885-0.369567696446393)×R²
    abs(1.95012101-1.95007308)×1.64561414914832e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64561414914832e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64561414914832e-05×40589641000000     		ar = 12733.4143775607m²