Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106215 / 45032
↖ ↑ ↗
← N 48.965794°
E111.728210°		 ← 200.51 m → N 48.965794°
E111.730957°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
N 48.963991°
E111.728210°		 ← 200.52 m →
40 203 m²		 N 48.963991°
E111.730957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810359954833984 y=0.343570709228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810359954833984 × 217)
    floor (0.810359954833984 × 131072)
    floor (106215.5)     		tx = 106215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343570709228516 × 217)
    floor (0.343570709228516 × 131072)
    floor (45032.5)     		ty = 45032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106215 / 45032 ti = "17/106215/45032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106215/45032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106215 ÷ 217
    106215 ÷ 131072     		x = 0.810356140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45032 ÷ 217
    45032 ÷ 131072     		y = 0.34356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810356140136719 × 2 - 1) × π
    0.620712280273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.95002514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34356689453125 × 2 - 1) × π
    0.3128662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.982898189809631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95002514} λ = 1.95002514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982898189809631))-π/2
    2×atan(2.67218954273179)-π/2
    2×1.21270532484704-π/2
    2.42541064969408-1.57079632675     		φ = 0.85461432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95002514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.728210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85461432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.965794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106215 KachelY 45032 1.95002514 0.85461432 111.728210 48.965794
    Oben rechts KachelX + 1 106216 KachelY 45032 1.95007308 0.85461432 111.730957 48.965794
    Unten links KachelX 106215 KachelY + 1 45033 1.95002514 0.85458285 111.728210 48.963991
    Unten rechts KachelX + 1 106216 KachelY + 1 45033 1.95007308 0.85458285 111.730957 48.963991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85461432-0.85458285) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dl = 200.495370000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85461432-0.85458285) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dr = 200.495370000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95002514-1.95007308) × cos(0.85461432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656509483836576 × 6371000     		do = 200.514894917673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95002514-1.95007308) × cos(0.85458285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656533221891693 × 6371000     		du = 200.522145130723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85461432)-sin(0.85458285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656509483836576-0.656533221891693)×R²
    abs(1.95007308-1.95002514)×2.37380551167954e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37380551167954e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37380551167954e-05×40589641000000     		ar = 40203.0348674885m²