Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106215 / 44779
↖ ↑ ↗
← N 49.419907°
E111.728210°		 ← 198.68 m → N 49.419907°
E111.730957°		 →
↑
198.65 m
↓
↑
198.65 m
↓
N 49.418121°
E111.728210°		 ← 198.69 m →
39 469 m²		 N 49.418121°
E111.730957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810359954833984 y=0.341640472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810359954833984 × 217)
    floor (0.810359954833984 × 131072)
    floor (106215.5)     		tx = 106215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341640472412109 × 217)
    floor (0.341640472412109 × 131072)
    floor (44779.5)     		ty = 44779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106215 / 44779 ti = "17/106215/44779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106215/44779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106215 ÷ 217
    106215 ÷ 131072     		x = 0.810356140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44779 ÷ 217
    44779 ÷ 131072     		y = 0.341636657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810356140136719 × 2 - 1) × π
    0.620712280273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.95002514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341636657714844 × 2 - 1) × π
    0.316726684570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.995026225413506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95002514} λ = 1.95002514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995026225413506))-π/2
    2×atan(2.70479527472385)-π/2
    2×1.21666821358447-π/2
    2.43333642716893-1.57079632675     		φ = 0.86254010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95002514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.728210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86254010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.419907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106215 KachelY 44779 1.95002514 0.86254010 111.728210 49.419907
    Oben rechts KachelX + 1 106216 KachelY 44779 1.95007308 0.86254010 111.730957 49.419907
    Unten links KachelX 106215 KachelY + 1 44780 1.95002514 0.86250892 111.728210 49.418121
    Unten rechts KachelX + 1 106216 KachelY + 1 44780 1.95007308 0.86250892 111.730957 49.418121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86254010-0.86250892) × R
    3.11800000000195e-05 × 6371000     		dl = 198.647780000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86254010-0.86250892) × R
    3.11800000000195e-05 × 6371000     		dr = 198.647780000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95002514-1.95007308) × cos(0.86254010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650510369542712 × 6371000     		do = 198.682610995126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95002514-1.95007308) × cos(0.86250892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650534050354578 × 6371000     		du = 198.689843724614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86254010)-sin(0.86250892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650510369542712-0.650534050354578)×R²
    abs(1.95007308-1.95002514)×2.36808118659892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36808118659892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36808118659892e-05×40589641000000     		ar = 39468.5779849545m²