Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106211 / 44780
↖ ↑ ↗
← N 49.418121°
E111.717224°		 ← 198.69 m → N 49.418121°
E111.719971°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
N 49.416334°
E111.717224°		 ← 198.70 m →
39 483 m²		 N 49.416334°
E111.719971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810329437255859 y=0.341648101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810329437255859 × 217)
    floor (0.810329437255859 × 131072)
    floor (106211.5)     		tx = 106211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341648101806641 × 217)
    floor (0.341648101806641 × 131072)
    floor (44780.5)     		ty = 44780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106211 / 44780 ti = "17/106211/44780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106211/44780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106211 ÷ 217
    106211 ÷ 131072     		x = 0.810325622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44780 ÷ 217
    44780 ÷ 131072     		y = 0.341644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810325622558594 × 2 - 1) × π
    0.620651245117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.94983339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341644287109375 × 2 - 1) × π
    0.31671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.994978288513885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94983339} λ = 1.94983339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994978288513885))-π/2
    2×atan(2.70466561833196)-π/2
    2×1.2166526215755-π/2
    2.43330524315099-1.57079632675     		φ = 0.86250892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94983339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.717224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86250892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.418121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106211 KachelY 44780 1.94983339 0.86250892 111.717224 49.418121
    Oben rechts KachelX + 1 106212 KachelY 44780 1.94988133 0.86250892 111.719971 49.418121
    Unten links KachelX 106211 KachelY + 1 44781 1.94983339 0.86247773 111.717224 49.416334
    Unten rechts KachelX + 1 106212 KachelY + 1 44781 1.94988133 0.86247773 111.719971 49.416334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86250892-0.86247773) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dl = 198.711489999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86250892-0.86247773) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dr = 198.711489999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94983339-1.94988133) × cos(0.86250892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650534050354578 × 6371000     		do = 198.689843724614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94983339-1.94988133) × cos(0.86247773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650557738128568 × 6371000     		du = 198.697078580514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86250892)-sin(0.86247773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650534050354578-0.650557738128568)×R²
    abs(1.94988133-1.94983339)×2.36877739896446e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36877739896446e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36877739896446e-05×40589641000000     		ar = 39482.6737220734m²