Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106210 / 99998
↖ ↑ ↗
← S 68.299873°
E111.714478°		 ← 112.91 m → S 68.299873°
E111.717224°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 68.300889°
E111.714478°		 ← 112.90 m →
12 753 m²		 S 68.300889°
E111.717224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810321807861328 y=0.762928009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810321807861328 × 217)
    floor (0.810321807861328 × 131072)
    floor (106210.5)     		tx = 106210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762928009033203 × 217)
    floor (0.762928009033203 × 131072)
    floor (99998.5)     		ty = 99998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106210 / 99998 ti = "17/106210/99998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106210/99998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106210 ÷ 217
    106210 ÷ 131072     		x = 0.810317993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99998 ÷ 217
    99998 ÷ 131072     		y = 0.762924194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810317993164062 × 2 - 1) × π
    0.620635986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94978546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762924194335938 × 2 - 1) × π
    -0.525848388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65200143470638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94978546} λ = 1.94978546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65200143470638))-π/2
    2×atan(0.19166591766288)-π/2
    2×0.18936932751245-π/2
    0.3787386550249-1.57079632675     		φ = -1.19205767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94978546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.714478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19205767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.299873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106210 KachelY 99998 1.94978546 -1.19205767 111.714478 -68.299873
    Oben rechts KachelX + 1 106211 KachelY 99998 1.94983339 -1.19205767 111.717224 -68.299873
    Unten links KachelX 106210 KachelY + 1 99999 1.94978546 -1.19207540 111.714478 -68.300889
    Unten rechts KachelX + 1 106211 KachelY + 1 99999 1.94983339 -1.19207540 111.717224 -68.300889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19205767--1.19207540) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19205767--1.19207540) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94978546-1.94983339) × cos(-1.19205767) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369748809830958 × 6371000     		do = 112.907247160135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94978546-1.94983339) × cos(-1.19207540) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369732336266832 × 6371000     		du = 112.902216759152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19205767)-sin(-1.19207540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369748809830958-0.369732336266832)×R²
    abs(1.94983339-1.94978546)×1.64735641260405e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64735641260405e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64735641260405e-05×40589641000000     		ar = 12753.4735192256m²