Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106210 / 45030
↖ ↑ ↗
← N 48.969400°
E111.714478°		 ← 200.46 m → N 48.969400°
E111.717224°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
N 48.967597°
E111.714478°		 ← 200.47 m →
40 192 m²		 N 48.967597°
E111.717224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810321807861328 y=0.343555450439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810321807861328 × 217)
    floor (0.810321807861328 × 131072)
    floor (106210.5)     		tx = 106210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343555450439453 × 217)
    floor (0.343555450439453 × 131072)
    floor (45030.5)     		ty = 45030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106210 / 45030 ti = "17/106210/45030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106210/45030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106210 ÷ 217
    106210 ÷ 131072     		x = 0.810317993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45030 ÷ 217
    45030 ÷ 131072     		y = 0.343551635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810317993164062 × 2 - 1) × π
    0.620635986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94978546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343551635742188 × 2 - 1) × π
    0.312896728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.982994063608871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94978546} λ = 1.94978546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982994063608871))-π/2
    2×atan(2.67244574797703)-π/2
    2×1.21273679473819-π/2
    2.42547358947638-1.57079632675     		φ = 0.85467726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94978546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.714478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85467726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.969400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106210 KachelY 45030 1.94978546 0.85467726 111.714478 48.969400
    Oben rechts KachelX + 1 106211 KachelY 45030 1.94983339 0.85467726 111.717224 48.969400
    Unten links KachelX 106210 KachelY + 1 45031 1.94978546 0.85464579 111.714478 48.967597
    Unten rechts KachelX + 1 106211 KachelY + 1 45031 1.94983339 0.85464579 111.717224 48.967597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85467726-0.85464579) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dl = 200.495370000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85467726-0.85464579) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dr = 200.495370000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94978546-1.94983339) × cos(0.85467726) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656462005775822 × 6371000     		do = 200.458570701699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94978546-1.94983339) × cos(0.85464579) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656485745131278 × 6371000     		du = 200.465819799472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85467726)-sin(0.85464579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656462005775822-0.656485745131278)×R²
    abs(1.94983339-1.94978546)×2.37393554559651e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37393554559651e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37393554559651e-05×40589641000000     		ar = 40191.742011272m²