Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106209 / 99999
↖ ↑ ↗
← S 68.300889°
E111.711731°		 ← 112.93 m → S 68.300889°
E111.714478°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 68.301905°
E111.711731°		 ← 112.92 m →
12 748 m²		 S 68.301905°
E111.714478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810314178466797 y=0.762935638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810314178466797 × 217)
    floor (0.810314178466797 × 131072)
    floor (106209.5)     		tx = 106209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762935638427734 × 217)
    floor (0.762935638427734 × 131072)
    floor (99999.5)     		ty = 99999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106209 / 99999 ti = "17/106209/99999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106209/99999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106209 ÷ 217
    106209 ÷ 131072     		x = 0.810310363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99999 ÷ 217
    99999 ÷ 131072     		y = 0.762931823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810310363769531 × 2 - 1) × π
    0.620620727539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.94973752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762931823730469 × 2 - 1) × π
    -0.525863647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.652049371606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94973752} λ = 1.94973752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.652049371606))-π/2
    2×atan(0.19165673001324)-π/2
    2×0.189360465404058-π/2
    0.378720930808117-1.57079632675     		φ = -1.19207540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94973752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.711731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19207540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.300889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106209 KachelY 99999 1.94973752 -1.19207540 111.711731 -68.300889
    Oben rechts KachelX + 1 106210 KachelY 99999 1.94978546 -1.19207540 111.714478 -68.300889
    Unten links KachelX 106209 KachelY + 1 100000 1.94973752 -1.19209312 111.711731 -68.301905
    Unten rechts KachelX + 1 106210 KachelY + 1 100000 1.94978546 -1.19209312 111.714478 -68.301905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19207540--1.19209312) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19207540--1.19209312) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94973752-1.94978546) × cos(-1.19207540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369732336266832 × 6371000     		do = 112.925772406152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94973752-1.94978546) × cos(-1.19209312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369715871877928 × 6371000     		du = 112.920743757987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19207540)-sin(-1.19209312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369732336266832-0.369715871877928)×R²
    abs(1.94978546-1.94973752)×1.64643889039584e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64643889039584e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64643889039584e-05×40589641000000     		ar = 12748.3718491436m²