Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106209 / 44702
↖ ↑ ↗
← N 49.557289°
E111.711731°		 ← 198.13 m → N 49.557289°
E111.714478°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 49.555507°
E111.711731°		 ← 198.13 m →
39 257 m²		 N 49.555507°
E111.714478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810314178466797 y=0.341053009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810314178466797 × 217)
    floor (0.810314178466797 × 131072)
    floor (106209.5)     		tx = 106209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341053009033203 × 217)
    floor (0.341053009033203 × 131072)
    floor (44702.5)     		ty = 44702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106209 / 44702 ti = "17/106209/44702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106209/44702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106209 ÷ 217
    106209 ÷ 131072     		x = 0.810310363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44702 ÷ 217
    44702 ÷ 131072     		y = 0.341049194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810310363769531 × 2 - 1) × π
    0.620620727539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.94973752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341049194335938 × 2 - 1) × π
    0.317901611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.99871736668425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94973752} λ = 1.94973752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99871736668425))-π/2
    2×atan(2.71479750465685)-π/2
    2×1.21786709400566-π/2
    2.43573418801132-1.57079632675     		φ = 0.86493786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94973752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.711731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86493786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.557289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106209 KachelY 44702 1.94973752 0.86493786 111.711731 49.557289
    Oben rechts KachelX + 1 106210 KachelY 44702 1.94978546 0.86493786 111.714478 49.557289
    Unten links KachelX 106209 KachelY + 1 44703 1.94973752 0.86490676 111.711731 49.555507
    Unten rechts KachelX + 1 106210 KachelY + 1 44703 1.94978546 0.86490676 111.714478 49.555507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86493786-0.86490676) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86493786-0.86490676) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94973752-1.94978546) × cos(0.86493786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64868740889391 × 6371000     		do = 198.125831889975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94973752-1.94978546) × cos(0.86490676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648711077389319 × 6371000     		du = 198.1330608577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86493786)-sin(0.86490676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64868740889391-0.648711077389319)×R²
    abs(1.94978546-1.94973752)×2.36684954089128e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36684954089128e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36684954089128e-05×40589641000000     		ar = 39256.992061675m²