Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106206 / 45029
↖ ↑ ↗
← N 48.971203°
E111.703491°		 ← 200.45 m → N 48.971203°
E111.706238°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
N 48.969400°
E111.703491°		 ← 200.46 m →
40 190 m²		 N 48.969400°
E111.706238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810291290283203 y=0.343547821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810291290283203 × 217)
    floor (0.810291290283203 × 131072)
    floor (106206.5)     		tx = 106206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343547821044922 × 217)
    floor (0.343547821044922 × 131072)
    floor (45029.5)     		ty = 45029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106206 / 45029 ti = "17/106206/45029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106206/45029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106206 ÷ 217
    106206 ÷ 131072     		x = 0.810287475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45029 ÷ 217
    45029 ÷ 131072     		y = 0.343544006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810287475585938 × 2 - 1) × π
    0.620574951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94959371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343544006347656 × 2 - 1) × π
    0.312911987304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.983042000508492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94959371} λ = 1.94959371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983042000508492))-π/2
    2×atan(2.6725738598112)-π/2
    2×1.21275252883029-π/2
    2.42550505766057-1.57079632675     		φ = 0.85470873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94959371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.703491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85470873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.971203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106206 KachelY 45029 1.94959371 0.85470873 111.703491 48.971203
    Oben rechts KachelX + 1 106207 KachelY 45029 1.94964164 0.85470873 111.706238 48.971203
    Unten links KachelX 106206 KachelY + 1 45030 1.94959371 0.85467726 111.703491 48.969400
    Unten rechts KachelX + 1 106207 KachelY + 1 45030 1.94964164 0.85467726 111.706238 48.969400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85470873-0.85467726) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dl = 200.495370000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85470873-0.85467726) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dr = 200.495370000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94959371-1.94964164) × cos(0.85470873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656438265770232 × 6371000     		do = 200.4513214054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94959371-1.94964164) × cos(0.85467726) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656462005775822 × 6371000     		du = 200.458570701699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85470873)-sin(0.85467726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656438265770232-0.656462005775822)×R²
    abs(1.94964164-1.94959371)×2.37400055902448e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37400055902448e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37400055902448e-05×40589641000000     		ar = 40190.288580655m²