Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106204 / 45028
↖ ↑ ↗
← N 48.973006°
E111.697998°		 ← 200.49 m → N 48.973006°
E111.700745°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
N 48.971203°
E111.697998°		 ← 200.49 m →
40 197 m²		 N 48.971203°
E111.700745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810276031494141 y=0.343540191650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810276031494141 × 217)
    floor (0.810276031494141 × 131072)
    floor (106204.5)     		tx = 106204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343540191650391 × 217)
    floor (0.343540191650391 × 131072)
    floor (45028.5)     		ty = 45028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106204 / 45028 ti = "17/106204/45028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106204/45028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106204 ÷ 217
    106204 ÷ 131072     		x = 0.810272216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45028 ÷ 217
    45028 ÷ 131072     		y = 0.343536376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810272216796875 × 2 - 1) × π
    0.62054443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94949783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343536376953125 × 2 - 1) × π
    0.31292724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.983089937408112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94949783} λ = 1.94949783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983089937408112))-π/2
    2×atan(2.67270197778681)-π/2
    2×1.21276826235341-π/2
    2.42553652470682-1.57079632675     		φ = 0.85474020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94949783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.697998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85474020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.973006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106204 KachelY 45028 1.94949783 0.85474020 111.697998 48.973006
    Oben rechts KachelX + 1 106205 KachelY 45028 1.94954577 0.85474020 111.700745 48.973006
    Unten links KachelX 106204 KachelY + 1 45029 1.94949783 0.85470873 111.697998 48.971203
    Unten rechts KachelX + 1 106205 KachelY + 1 45029 1.94954577 0.85470873 111.700745 48.971203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85474020-0.85470873) × R
    3.14699999999224e-05 × 6371000     		dl = 200.495369999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85474020-0.85470873) × R
    3.14699999999224e-05 × 6371000     		dr = 200.495369999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94949783-1.94954577) × cos(0.85474020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656414525114531 × 6371000     		do = 200.485892079723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94949783-1.94954577) × cos(0.85470873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656438265770232 × 6371000     		du = 200.493143087058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85474020)-sin(0.85470873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656414525114531-0.656438265770232)×R²
    abs(1.94954577-1.94949783)×2.37406557008768e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37406557008768e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37406557008768e-05×40589641000000     		ar = 40197.2200122083m²