Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106200 / 99892
↖ ↑ ↗
← S 68.191971°
E111.687012°		 ← 113.44 m → S 68.191971°
E111.689758°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 68.192992°
E111.687012°		 ← 113.44 m →
12 872 m²		 S 68.192992°
E111.689758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810245513916016 y=0.762119293212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810245513916016 × 217)
    floor (0.810245513916016 × 131072)
    floor (106200.5)     		tx = 106200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762119293212891 × 217)
    floor (0.762119293212891 × 131072)
    floor (99892.5)     		ty = 99892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106200 / 99892 ti = "17/106200/99892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106200/99892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106200 ÷ 217
    106200 ÷ 131072     		x = 0.81024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99892 ÷ 217
    99892 ÷ 131072     		y = 0.762115478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81024169921875 × 2 - 1) × π
    0.6204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94930609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762115478515625 × 2 - 1) × π
    -0.52423095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64692012334665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94930609} λ = 1.94930609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64692012334665))-π/2
    2×atan(0.192642310444591)-π/2
    2×0.190310952421814-π/2
    0.380621904843628-1.57079632675     		φ = -1.19017442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94930609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.687012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19017442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.191971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106200 KachelY 99892 1.94930609 -1.19017442 111.687012 -68.191971
    Oben rechts KachelX + 1 106201 KachelY 99892 1.94935402 -1.19017442 111.689758 -68.191971
    Unten links KachelX 106200 KachelY + 1 99893 1.94930609 -1.19019223 111.687012 -68.192992
    Unten rechts KachelX + 1 106201 KachelY + 1 99893 1.94935402 -1.19019223 111.689758 -68.192992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19017442--1.19019223) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19017442--1.19019223) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94930609-1.94935402) × cos(-1.19017442) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.371497940492706 × 6371000     		do = 113.441365249216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94930609-1.94935402) × cos(-1.19019223) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.371481405028201 × 6371000     		du = 113.436315946207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19017442)-sin(-1.19019223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371497940492706-0.371481405028201)×R²
    abs(1.94935402-1.94930609)×1.65354645049742e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.65354645049742e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.65354645049742e-05×40589641000000     		ar = 12871.6227804093m²