Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106200 / 45013
↖ ↑ ↗
← N 49.000042°
E111.687012°		 ← 200.34 m → N 49.000042°
E111.689758°		 →
↑
200.37 m
↓
↑
200.37 m
↓
N 48.998240°
E111.687012°		 ← 200.34 m →
40 142 m²		 N 48.998240°
E111.689758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810245513916016 y=0.343425750732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810245513916016 × 217)
    floor (0.810245513916016 × 131072)
    floor (106200.5)     		tx = 106200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343425750732422 × 217)
    floor (0.343425750732422 × 131072)
    floor (45013.5)     		ty = 45013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106200 / 45013 ti = "17/106200/45013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106200/45013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106200 ÷ 217
    106200 ÷ 131072     		x = 0.81024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45013 ÷ 217
    45013 ÷ 131072     		y = 0.343421936035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81024169921875 × 2 - 1) × π
    0.6204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94930609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343421936035156 × 2 - 1) × π
    0.313156127929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.983808990902412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94930609} λ = 1.94930609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983808990902412))-π/2
    2×atan(2.67462448459295)-π/2
    2×1.21300419692657-π/2
    2.42600839385315-1.57079632675     		φ = 0.85521207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94930609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.687012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85521207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.000042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106200 KachelY 45013 1.94930609 0.85521207 111.687012 49.000042
    Oben rechts KachelX + 1 106201 KachelY 45013 1.94935402 0.85521207 111.689758 49.000042
    Unten links KachelX 106200 KachelY + 1 45014 1.94930609 0.85518062 111.687012 48.998240
    Unten rechts KachelX + 1 106201 KachelY + 1 45014 1.94935402 0.85518062 111.689758 48.998240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85521207-0.85518062) × R
    3.14500000000439e-05 × 6371000     		dl = 200.36795000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85521207-0.85518062) × R
    3.14500000000439e-05 × 6371000     		dr = 200.36795000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94930609-1.94935402) × cos(0.85521207) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.656058473129532 × 6371000     		do = 200.335347152729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94930609-1.94935402) × cos(0.85518062) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.656082208436569 × 6371000     		du = 200.342595014268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85521207)-sin(0.85518062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656058473129532-0.656082208436569)×R²
    abs(1.94935402-1.94930609)×2.37353070362545e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.37353070362545e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.37353070362545e-05×40589641000000     		ar = 40141.5089444852m²