Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1062 / 808
↖ ↑ ↗
← N 80.816891°
W133.330078°		 ← 779.85 m → N 80.816891°
W133.286133°		 →
↑
780.13 m
↓
↑
780.13 m
↓
N 80.809875°
W133.330078°		 ← 780.44 m →
608 611 m²		 N 80.809875°
W133.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12969970703125 y=0.09869384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12969970703125 × 213)
    floor (0.12969970703125 × 8192)
    floor (1062.5)     		tx = 1062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09869384765625 × 213)
    floor (0.09869384765625 × 8192)
    floor (808.5)     		ty = 808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1062 / 808 ti = "13/1062/808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1062/808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1062 ÷ 213
    1062 ÷ 8192     		x = 0.129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 808 ÷ 213
    808 ÷ 8192     		y = 0.0986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.74072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32704886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0986328125 × 2 - 1) × π
    0.802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52186441521191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32704886} λ = -2.32704886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52186441521191))-π/2
    2×atan(12.4517903428656)-π/2
    2×1.49065858198811-π/2
    2.98131716397622-1.57079632675     		φ = 1.41052084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32704886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41052084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1062 KachelY 808 -2.32704886 1.41052084 -133.330078 80.816891
    Oben rechts KachelX + 1 1063 KachelY 808 -2.32628186 1.41052084 -133.286133 80.816891
    Unten links KachelX 1062 KachelY + 1 809 -2.32704886 1.41039839 -133.330078 80.809875
    Unten rechts KachelX + 1 1063 KachelY + 1 809 -2.32628186 1.41039839 -133.286133 80.809875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41052084-1.41039839) × R
    0.000122450000000107 × 6371000     		dl = 780.128950000683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41052084-1.41039839) × R
    0.000122450000000107 × 6371000     		dr = 780.128950000683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32704886--2.32628186) × cos(1.41052084) × R
    0.000767000000000184 × 0.159590168645371 × 6371000     		do = 779.846455725407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32704886--2.32628186) × cos(1.41039839) × R
    0.000767000000000184 × 0.159711048050546 × 6371000     		du = 780.437139828918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41052084)-sin(1.41039839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159590168645371-0.159711048050546)×R²
    abs(-2.32628186--2.32704886)×0.00012087940517444×R²
    0.000767000000000184×0.00012087940517444×6371000²
    0.000767000000000184×0.00012087940517444×40589641000000     		ar = 608611.202311476m²