Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1062 / 681
↖ ↑ ↗
← N 75.994839°
W 86.660156°		 ← 2 365.15 m → N 75.994839°
W 86.572266°		 →
↑
2 366.95 m
↓
↑
2 366.95 m
↓
N 75.973553°
W 86.660156°		 ← 2 368.68 m →
5 602 379 m²		 N 75.973553°
W 86.572266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2593994140625 y=0.1663818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2593994140625 × 212)
    floor (0.2593994140625 × 4096)
    floor (1062.5)     		tx = 1062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1663818359375 × 212)
    floor (0.1663818359375 × 4096)
    floor (681.5)     		ty = 681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1062 / 681 ti = "12/1062/681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1062/681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1062 ÷ 212
    1062 ÷ 4096     		x = 0.25927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 681 ÷ 212
    681 ÷ 4096     		y = 0.166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25927734375 × 2 - 1) × π
    -0.4814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.51250506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166259765625 × 2 - 1) × π
    0.66748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09695173697974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51250506} λ = -1.51250506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09695173697974))-π/2
    2×atan(8.14131517993282)-π/2
    2×1.44857824213115-π/2
    2.8971564842623-1.57079632675     		φ = 1.32636016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51250506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.660156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32636016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.994839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1062 KachelY 681 -1.51250506 1.32636016 -86.660156 75.994839
    Oben rechts KachelX + 1 1063 KachelY 681 -1.51097108 1.32636016 -86.572266 75.994839
    Unten links KachelX 1062 KachelY + 1 682 -1.51250506 1.32598864 -86.660156 75.973553
    Unten rechts KachelX + 1 1063 KachelY + 1 682 -1.51097108 1.32598864 -86.572266 75.973553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32636016-1.32598864) × R
    0.000371519999999848 × 6371000     		dl = 2366.95391999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32636016-1.32598864) × R
    0.000371519999999848 × 6371000     		dr = 2366.95391999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51250506--1.51097108) × cos(1.32636016) × R
    0.00153398000000005 × 0.242009290624942 × 6371000     		do = 2365.15354951295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51250506--1.51097108) × cos(1.32598864) × R
    0.00153398000000005 × 0.24236975008597 × 6371000     		du = 2368.67631498821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32636016)-sin(1.32598864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242009290624942-0.24236975008597)×R²
    abs(-1.51097108--1.51250506)×0.000360459461027918×R²
    0.00153398000000005×0.000360459461027918×6371000²
    0.00153398000000005×0.000360459461027918×40589641000000     		ar = 5602378.64163431m²