Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1062 / 3098
↖ ↑ ↗
← N 40.111689°
W133.330078°		 ← 3 737.19 m → N 40.111689°
W133.286133°		 →
↑
3 738.12 m
↓
↑
3 738.12 m
↓
N 40.078071°
W133.330078°		 ← 3 739.04 m →
13 973 518 m²		 N 40.078071°
W133.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12969970703125 y=0.37823486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12969970703125 × 213)
    floor (0.12969970703125 × 8192)
    floor (1062.5)     		tx = 1062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37823486328125 × 213)
    floor (0.37823486328125 × 8192)
    floor (3098.5)     		ty = 3098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1062 / 3098 ti = "13/1062/3098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1062/3098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1062 ÷ 213
    1062 ÷ 8192     		x = 0.129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3098 ÷ 213
    3098 ÷ 8192     		y = 0.378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.74072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32704886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378173828125 × 2 - 1) × π
    0.24365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.765456413133057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32704886} λ = -2.32704886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.765456413133057))-π/2
    2×atan(2.14997542777641)-π/2
    2×1.13543868126385-π/2
    2.2708773625277-1.57079632675     		φ = 0.70008104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32704886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70008104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.111689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1062 KachelY 3098 -2.32704886 0.70008104 -133.330078 40.111689
    Oben rechts KachelX + 1 1063 KachelY 3098 -2.32628186 0.70008104 -133.286133 40.111689
    Unten links KachelX 1062 KachelY + 1 3099 -2.32704886 0.69949430 -133.330078 40.078071
    Unten rechts KachelX + 1 1063 KachelY + 1 3099 -2.32628186 0.69949430 -133.286133 40.078071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70008104-0.69949430) × R
    0.00058674000000003 × 6371000     		dl = 3738.12054000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70008104-0.69949430) × R
    0.00058674000000003 × 6371000     		dr = 3738.12054000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32704886--2.32628186) × cos(0.70008104) × R
    0.000767000000000184 × 0.764789977371628 × 6371000     		do = 3737.18981745607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32704886--2.32628186) × cos(0.69949430) × R
    0.000767000000000184 × 0.765167870357543 × 6371000     		du = 3739.03641307164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70008104)-sin(0.69949430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764789977371628-0.765167870357543)×R²
    abs(-2.32628186--2.32704886)×0.000377892985914285×R²
    0.000767000000000184×0.000377892985914285×6371000²
    0.000767000000000184×0.000377892985914285×40589641000000     		ar = 13973517.8178947m²