Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1062 / 3086
↖ ↑ ↗
← N 40.513799°
W133.330078°		 ← 3 715 m → N 40.513799°
W133.286133°		 →
↑
3 715.89 m
↓
↑
3 715.89 m
↓
N 40.480382°
W133.330078°		 ← 3 716.85 m →
13 807 965 m²		 N 40.480382°
W133.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12969970703125 y=0.37677001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12969970703125 × 213)
    floor (0.12969970703125 × 8192)
    floor (1062.5)     		tx = 1062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37677001953125 × 213)
    floor (0.37677001953125 × 8192)
    floor (3086.5)     		ty = 3086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1062 / 3086 ti = "13/1062/3086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1062/3086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1062 ÷ 213
    1062 ÷ 8192     		x = 0.129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3086 ÷ 213
    3086 ÷ 8192     		y = 0.376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.74072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32704886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.376708984375 × 2 - 1) × π
    0.24658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.774660297860107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32704886} λ = -2.32704886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.774660297860107))-π/2
    2×atan(2.16985489761932)-π/2
    2×1.13894775726264-π/2
    2.27789551452528-1.57079632675     		φ = 0.70709919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32704886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70709919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.513799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1062 KachelY 3086 -2.32704886 0.70709919 -133.330078 40.513799
    Oben rechts KachelX + 1 1063 KachelY 3086 -2.32628186 0.70709919 -133.286133 40.513799
    Unten links KachelX 1062 KachelY + 1 3087 -2.32704886 0.70651594 -133.330078 40.480382
    Unten rechts KachelX + 1 1063 KachelY + 1 3087 -2.32628186 0.70651594 -133.286133 40.480382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70709919-0.70651594) × R
    0.000583250000000035 × 6371000     		dl = 3715.88575000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70709919-0.70651594) × R
    0.000583250000000035 × 6371000     		dr = 3715.88575000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32704886--2.32628186) × cos(0.70709919) × R
    0.000767000000000184 × 0.760249528568918 × 6371000     		do = 3715.00265557604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32704886--2.32628186) × cos(0.70651594) × R
    0.000767000000000184 × 0.760628296615062 × 6371000     		du = 3716.8535272233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70709919)-sin(0.70651594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760249528568918-0.760628296615062)×R²
    abs(-2.32628186--2.32704886)×0.000378768046144673×R²
    0.000767000000000184×0.000378768046144673×6371000²
    0.000767000000000184×0.000378768046144673×40589641000000     		ar = 13807964.6342901m²