Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106198 / 99902
↖ ↑ ↗
← S 68.202173°
E111.681518°		 ← 113.41 m → S 68.202173°
E111.684265°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 68.203193°
E111.681518°		 ← 113.41 m →
12 861 m²		 S 68.203193°
E111.684265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810230255126953 y=0.762195587158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810230255126953 × 217)
    floor (0.810230255126953 × 131072)
    floor (106198.5)     		tx = 106198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762195587158203 × 217)
    floor (0.762195587158203 × 131072)
    floor (99902.5)     		ty = 99902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106198 / 99902 ti = "17/106198/99902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106198/99902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106198 ÷ 217
    106198 ÷ 131072     		x = 0.810226440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99902 ÷ 217
    99902 ÷ 131072     		y = 0.762191772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810226440429688 × 2 - 1) × π
    0.620452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94921021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762191772460938 × 2 - 1) × π
    -0.524383544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64739949234285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94921021} λ = 1.94921021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64739949234285))-π/2
    2×atan(0.192549985824156)-π/2
    2×0.190221929937055-π/2
    0.38044385987411-1.57079632675     		φ = -1.19035247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94921021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.681518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19035247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.202173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106198 KachelY 99902 1.94921021 -1.19035247 111.681518 -68.202173
    Oben rechts KachelX + 1 106199 KachelY 99902 1.94925815 -1.19035247 111.684265 -68.202173
    Unten links KachelX 106198 KachelY + 1 99903 1.94921021 -1.19037027 111.681518 -68.203193
    Unten rechts KachelX + 1 106199 KachelY + 1 99903 1.94925815 -1.19037027 111.684265 -68.203193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19035247--1.19037027) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19035247--1.19037027) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94921021-1.94925815) × cos(-1.19035247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371332626970821 × 6371000     		do = 113.414542378633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94921021-1.94925815) × cos(-1.19037027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371316099613624 × 6371000     		du = 113.40949449833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19035247)-sin(-1.19037027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371332626970821-0.371316099613624)×R²
    abs(1.94925815-1.94921021)×1.65273571974822e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65273571974822e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65273571974822e-05×40589641000000     		ar = 12861.3538568165m²