Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106198 / 99891
↖ ↑ ↗
← S 68.190951°
E111.681518°		 ← 113.47 m → S 68.190951°
E111.684265°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 68.191971°
E111.681518°		 ← 113.47 m →
12 875 m²		 S 68.191971°
E111.684265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810230255126953 y=0.762111663818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810230255126953 × 217)
    floor (0.810230255126953 × 131072)
    floor (106198.5)     		tx = 106198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762111663818359 × 217)
    floor (0.762111663818359 × 131072)
    floor (99891.5)     		ty = 99891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106198 / 99891 ti = "17/106198/99891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106198/99891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106198 ÷ 217
    106198 ÷ 131072     		x = 0.810226440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99891 ÷ 217
    99891 ÷ 131072     		y = 0.762107849121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810226440429688 × 2 - 1) × π
    0.620452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94921021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762107849121094 × 2 - 1) × π
    -0.524215698242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.64687218644703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94921021} λ = 1.94921021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64687218644703))-π/2
    2×atan(0.192651545341034)-π/2
    2×0.190319856849661-π/2
    0.380639713699322-1.57079632675     		φ = -1.19015661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94921021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.681518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19015661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.190951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106198 KachelY 99891 1.94921021 -1.19015661 111.681518 -68.190951
    Oben rechts KachelX + 1 106199 KachelY 99891 1.94925815 -1.19015661 111.684265 -68.190951
    Unten links KachelX 106198 KachelY + 1 99892 1.94921021 -1.19017442 111.681518 -68.191971
    Unten rechts KachelX + 1 106199 KachelY + 1 99892 1.94925815 -1.19017442 111.684265 -68.191971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19015661--1.19017442) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dl = 113.467509999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19015661--1.19017442) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dr = 113.467509999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94921021-1.94925815) × cos(-1.19015661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371514475839373 × 6371000     		do = 113.470083703878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94921021-1.94925815) × cos(-1.19017442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371497940492706 × 6371000     		du = 113.465033383386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19015661)-sin(-1.19017442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371514475839373-0.371497940492706)×R²
    abs(1.94925815-1.94921021)×1.65353466671236e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65353466671236e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65353466671236e-05×40589641000000     		ar = 12874.8813339423m²