Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106198 / 44754
↖ ↑ ↗
← N 49.464554°
E111.681518°		 ← 198.50 m → N 49.464554°
E111.684265°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
N 49.462769°
E111.681518°		 ← 198.51 m →
39 395 m²		 N 49.462769°
E111.684265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810230255126953 y=0.341449737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810230255126953 × 217)
    floor (0.810230255126953 × 131072)
    floor (106198.5)     		tx = 106198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341449737548828 × 217)
    floor (0.341449737548828 × 131072)
    floor (44754.5)     		ty = 44754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106198 / 44754 ti = "17/106198/44754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106198/44754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106198 ÷ 217
    106198 ÷ 131072     		x = 0.810226440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44754 ÷ 217
    44754 ÷ 131072     		y = 0.341445922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810226440429688 × 2 - 1) × π
    0.620452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94921021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341445922851562 × 2 - 1) × π
    0.317108154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.996224647904007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94921021} λ = 1.94921021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996224647904007))-π/2
    2×atan(2.70803870532518)-π/2
    2×1.21705782933264-π/2
    2.43411565866528-1.57079632675     		φ = 0.86331933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94921021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.681518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86331933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.464554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106198 KachelY 44754 1.94921021 0.86331933 111.681518 49.464554
    Oben rechts KachelX + 1 106199 KachelY 44754 1.94925815 0.86331933 111.684265 49.464554
    Unten links KachelX 106198 KachelY + 1 44755 1.94921021 0.86328818 111.681518 49.462769
    Unten rechts KachelX + 1 106199 KachelY + 1 44755 1.94925815 0.86328818 111.684265 49.462769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86331933-0.86328818) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dl = 198.456650000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86331933-0.86328818) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dr = 198.456650000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94921021-1.94925815) × cos(0.86331933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649918348970146 × 6371000     		do = 198.501792673655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94921021-1.94925815) × cos(0.86328818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649942022780649 × 6371000     		du = 198.509023264746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86331933)-sin(0.86328818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649918348970146-0.649942022780649)×R²
    abs(1.94925815-1.94921021)×2.36738105034995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36738105034995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36738105034995e-05×40589641000000     		ar = 39394.7182758545m²