Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106197 / 45012
↖ ↑ ↗
← N 49.001844°
E111.678772°		 ← 200.33 m → N 49.001844°
E111.681518°		 →
↑
200.37 m
↓
↑
200.37 m
↓
N 49.000042°
E111.678772°		 ← 200.34 m →
40 140 m²		 N 49.000042°
E111.681518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810222625732422 y=0.343418121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810222625732422 × 217)
    floor (0.810222625732422 × 131072)
    floor (106197.5)     		tx = 106197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343418121337891 × 217)
    floor (0.343418121337891 × 131072)
    floor (45012.5)     		ty = 45012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106197 / 45012 ti = "17/106197/45012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106197/45012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106197 ÷ 217
    106197 ÷ 131072     		x = 0.810218811035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45012 ÷ 217
    45012 ÷ 131072     		y = 0.343414306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810218811035156 × 2 - 1) × π
    0.620437622070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.94916228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343414306640625 × 2 - 1) × π
    0.31317138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.983856927802032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94916228} λ = 1.94916228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983856927802032))-π/2
    2×atan(2.67475270087151)-π/2
    2×1.21301992134677-π/2
    2.42603984269353-1.57079632675     		φ = 0.85524352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94916228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.678772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85524352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.001844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106197 KachelY 45012 1.94916228 0.85524352 111.678772 49.001844
    Oben rechts KachelX + 1 106198 KachelY 45012 1.94921021 0.85524352 111.681518 49.001844
    Unten links KachelX 106197 KachelY + 1 45013 1.94916228 0.85521207 111.678772 49.000042
    Unten rechts KachelX + 1 106198 KachelY + 1 45013 1.94921021 0.85521207 111.681518 49.000042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85524352-0.85521207) × R
    3.14500000000439e-05 × 6371000     		dl = 200.36795000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85524352-0.85521207) × R
    3.14500000000439e-05 × 6371000     		dr = 200.36795000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94916228-1.94921021) × cos(0.85524352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656034737173587 × 6371000     		do = 200.328099093966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94916228-1.94921021) × cos(0.85521207) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656058473129532 × 6371000     		du = 200.335347153657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85524352)-sin(0.85521207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656034737173587-0.656058473129532)×R²
    abs(1.94921021-1.94916228)×2.37359559454031e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37359559454031e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37359559454031e-05×40589641000000     		ar = 40140.0566857978m²