Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106196 / 45011
↖ ↑ ↗
← N 49.003646°
E111.676025°		 ← 200.36 m → N 49.003646°
E111.678772°		 →
↑
200.30 m
↓
↑
200.30 m
↓
N 49.001844°
E111.676025°		 ← 200.37 m →
40 134 m²		 N 49.001844°
E111.678772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810214996337891 y=0.343410491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810214996337891 × 217)
    floor (0.810214996337891 × 131072)
    floor (106196.5)     		tx = 106196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343410491943359 × 217)
    floor (0.343410491943359 × 131072)
    floor (45011.5)     		ty = 45011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106196 / 45011 ti = "17/106196/45011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106196/45011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106196 ÷ 217
    106196 ÷ 131072     		x = 0.810211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45011 ÷ 217
    45011 ÷ 131072     		y = 0.343406677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810211181640625 × 2 - 1) × π
    0.62042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94911434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343406677246094 × 2 - 1) × π
    0.313186645507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.983904864701653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94911434} λ = 1.94911434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983904864701653))-π/2
    2×atan(2.67488092329651)-π/2
    2×1.21303564519807-π/2
    2.42607129039613-1.57079632675     		φ = 0.85527496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94911434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.676025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85527496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.003646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106196 KachelY 45011 1.94911434 0.85527496 111.676025 49.003646
    Oben rechts KachelX + 1 106197 KachelY 45011 1.94916228 0.85527496 111.678772 49.003646
    Unten links KachelX 106196 KachelY + 1 45012 1.94911434 0.85524352 111.676025 49.001844
    Unten rechts KachelX + 1 106197 KachelY + 1 45012 1.94916228 0.85524352 111.678772 49.001844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85527496-0.85524352) × R
    3.14399999999937e-05 × 6371000     		dl = 200.30423999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85527496-0.85524352) × R
    3.14399999999937e-05 × 6371000     		dr = 200.30423999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94911434-1.94916228) × cos(0.85527496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656011008116269 × 6371000     		do = 200.362647601926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94911434-1.94916228) × cos(0.85524352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656034737173587 × 6371000     		du = 200.369895066817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85527496)-sin(0.85524352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656011008116269-0.656034737173587)×R²
    abs(1.94916228-1.94911434)×2.3729057317623e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3729057317623e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3729057317623e-05×40589641000000     		ar = 40134.2137045036m²