Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106196 / 44755
↖ ↑ ↗
← N 49.462769°
E111.676025°		 ← 198.51 m → N 49.462769°
E111.678772°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
N 49.460984°
E111.676025°		 ← 198.52 m →
39 409 m²		 N 49.460984°
E111.678772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810214996337891 y=0.341457366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810214996337891 × 217)
    floor (0.810214996337891 × 131072)
    floor (106196.5)     		tx = 106196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341457366943359 × 217)
    floor (0.341457366943359 × 131072)
    floor (44755.5)     		ty = 44755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106196 / 44755 ti = "17/106196/44755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106196/44755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106196 ÷ 217
    106196 ÷ 131072     		x = 0.810211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44755 ÷ 217
    44755 ÷ 131072     		y = 0.341453552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810211181640625 × 2 - 1) × π
    0.62042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94911434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341453552246094 × 2 - 1) × π
    0.317092895507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.996176711004387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94911434} λ = 1.94911434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996176711004387))-π/2
    2×atan(2.70790889345701)-π/2
    2×1.21704225151359-π/2
    2.43408450302717-1.57079632675     		φ = 0.86328818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94911434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.676025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86328818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.462769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106196 KachelY 44755 1.94911434 0.86328818 111.676025 49.462769
    Oben rechts KachelX + 1 106197 KachelY 44755 1.94916228 0.86328818 111.678772 49.462769
    Unten links KachelX 106196 KachelY + 1 44756 1.94911434 0.86325702 111.676025 49.460984
    Unten rechts KachelX + 1 106197 KachelY + 1 44756 1.94916228 0.86325702 111.678772 49.460984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86328818-0.86325702) × R
    3.1159999999919e-05 × 6371000     		dl = 198.520359999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86328818-0.86325702) × R
    3.1159999999919e-05 × 6371000     		dr = 198.520359999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94911434-1.94916228) × cos(0.86328818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649942022780649 × 6371000     		do = 198.509023264746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94911434-1.94916228) × cos(0.86325702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649965703560135 × 6371000     		du = 198.516255984345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86328818)-sin(0.86325702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649942022780649-0.649965703560135)×R²
    abs(1.94916228-1.94911434)×2.36807794855576e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36807794855576e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36807794855576e-05×40589641000000     		ar = 39408.8006857941m²