Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106195 / 99895
↖ ↑ ↗
← S 68.195032°
E111.673279°		 ← 113.45 m → S 68.195032°
E111.676025°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 68.196052°
E111.673279°		 ← 113.44 m →
12 873 m²		 S 68.196052°
E111.676025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810207366943359 y=0.762142181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810207366943359 × 217)
    floor (0.810207366943359 × 131072)
    floor (106195.5)     		tx = 106195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762142181396484 × 217)
    floor (0.762142181396484 × 131072)
    floor (99895.5)     		ty = 99895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106195 / 99895 ti = "17/106195/99895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106195/99895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106195 ÷ 217
    106195 ÷ 131072     		x = 0.810203552246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99895 ÷ 217
    99895 ÷ 131072     		y = 0.762138366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810203552246094 × 2 - 1) × π
    0.620407104492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.94906640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762138366699219 × 2 - 1) × π
    -0.524276733398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.64706393404551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94906640} λ = 1.94906640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64706393404551))-π/2
    2×atan(0.192614608411268)-π/2
    2×0.190284241515976-π/2
    0.380568483031952-1.57079632675     		φ = -1.19022784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94906640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.673279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19022784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.195032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106195 KachelY 99895 1.94906640 -1.19022784 111.673279 -68.195032
    Oben rechts KachelX + 1 106196 KachelY 99895 1.94911434 -1.19022784 111.676025 -68.195032
    Unten links KachelX 106195 KachelY + 1 99896 1.94906640 -1.19024565 111.673279 -68.196052
    Unten rechts KachelX + 1 106196 KachelY + 1 99896 1.94911434 -1.19024565 111.676025 -68.196052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19022784--1.19024565) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19022784--1.19024565) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94906640-1.94911434) × cos(-1.19022784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371448343030235 × 6371000     		do = 113.449885041709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94906640-1.94911434) × cos(-1.19024565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371431807212315 × 6371000     		du = 113.444834577284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19022784)-sin(-1.19024565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371448343030235-0.371431807212315)×R²
    abs(1.94911434-1.94906640)×1.65358179204933e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65358179204933e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65358179204933e-05×40589641000000     		ar = 12872.5894341427m²