Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106195 / 44855
↖ ↑ ↗
← N 49.283932°
E111.673279°		 ← 199.23 m → N 49.283932°
E111.676025°		 →
↑
199.22 m
↓
↑
199.22 m
↓
N 49.282140°
E111.673279°		 ← 199.24 m →
39 692 m²		 N 49.282140°
E111.676025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810207366943359 y=0.342220306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810207366943359 × 217)
    floor (0.810207366943359 × 131072)
    floor (106195.5)     		tx = 106195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342220306396484 × 217)
    floor (0.342220306396484 × 131072)
    floor (44855.5)     		ty = 44855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106195 / 44855 ti = "17/106195/44855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106195/44855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106195 ÷ 217
    106195 ÷ 131072     		x = 0.810203552246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44855 ÷ 217
    44855 ÷ 131072     		y = 0.342216491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810203552246094 × 2 - 1) × π
    0.620407104492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.94906640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342216491699219 × 2 - 1) × π
    0.315567016601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.991383021042381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94906640} λ = 1.94906640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991383021042381))-π/2
    2×atan(2.69495908126707)-π/2
    2×1.21548160266407-π/2
    2.43096320532814-1.57079632675     		φ = 0.86016688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94906640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.673279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86016688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.283932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106195 KachelY 44855 1.94906640 0.86016688 111.673279 49.283932
    Oben rechts KachelX + 1 106196 KachelY 44855 1.94911434 0.86016688 111.676025 49.283932
    Unten links KachelX 106195 KachelY + 1 44856 1.94906640 0.86013561 111.673279 49.282140
    Unten rechts KachelX + 1 106196 KachelY + 1 44856 1.94911434 0.86013561 111.676025 49.282140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86016688-0.86013561) × R
    3.12699999999166e-05 × 6371000     		dl = 199.221169999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86016688-0.86013561) × R
    3.12699999999166e-05 × 6371000     		dr = 199.221169999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94906640-1.94911434) × cos(0.86016688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652310990312899 × 6371000     		do = 199.232566926319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94906640-1.94911434) × cos(0.86013561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652334691135227 × 6371000     		du = 199.239805767517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86016688)-sin(0.86013561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652310990312899-0.652334691135227)×R²
    abs(1.94911434-1.94906640)×2.37008223277213e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37008223277213e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37008223277213e-05×40589641000000     		ar = 39692.0661534537m²