Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106194 / 42710
↖ ↑ ↗
← N 52.978416°
E111.670532°		 ← 183.90 m → N 52.978416°
E111.673279°		 →
↑
183.93 m
↓
↑
183.93 m
↓
N 52.976762°
E111.670532°		 ← 183.91 m →
33 826 m²		 N 52.976762°
E111.673279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810199737548828 y=0.325855255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810199737548828 × 217)
    floor (0.810199737548828 × 131072)
    floor (106194.5)     		tx = 106194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325855255126953 × 217)
    floor (0.325855255126953 × 131072)
    floor (42710.5)     		ty = 42710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106194 / 42710 ti = "17/106194/42710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106194/42710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106194 ÷ 217
    106194 ÷ 131072     		x = 0.810195922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42710 ÷ 217
    42710 ÷ 131072     		y = 0.325851440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810195922851562 × 2 - 1) × π
    0.620391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94901846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325851440429688 × 2 - 1) × π
    0.348297119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0942076707274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94901846} λ = 1.94901846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0942076707274))-π/2
    2×atan(2.98681520448744)-π/2
    2×1.24772205774498-π/2
    2.49544411548996-1.57079632675     		φ = 0.92464779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94901846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.670532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92464779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.978416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106194 KachelY 42710 1.94901846 0.92464779 111.670532 52.978416
    Oben rechts KachelX + 1 106195 KachelY 42710 1.94906640 0.92464779 111.673279 52.978416
    Unten links KachelX 106194 KachelY + 1 42711 1.94901846 0.92461892 111.670532 52.976762
    Unten rechts KachelX + 1 106195 KachelY + 1 42711 1.94906640 0.92461892 111.673279 52.976762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92464779-0.92461892) × R
    2.88699999999587e-05 × 6371000     		dl = 183.930769999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92464779-0.92461892) × R
    2.88699999999587e-05 × 6371000     		dr = 183.930769999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94901846-1.94906640) × cos(0.92464779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602115837265946 × 6371000     		do = 183.901675162551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94901846-1.94906640) × cos(0.92461892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602138887075385 × 6371000     		du = 183.908715167655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92464779)-sin(0.92461892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602115837265946-0.602138887075385)×R²
    abs(1.94906640-1.94901846)×2.30498094392351e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30498094392351e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30498094392351e-05×40589641000000     		ar = 33825.8241561661m²