Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106193 / 42837
↖ ↑ ↗
← N 52.767877°
E111.667786°		 ← 184.76 m → N 52.767877°
E111.670532°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
N 52.766216°
E111.667786°		 ← 184.77 m →
34 136 m²		 N 52.766216°
E111.670532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810192108154297 y=0.326824188232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810192108154297 × 217)
    floor (0.810192108154297 × 131072)
    floor (106193.5)     		tx = 106193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326824188232422 × 217)
    floor (0.326824188232422 × 131072)
    floor (42837.5)     		ty = 42837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106193 / 42837 ti = "17/106193/42837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106193/42837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106193 ÷ 217
    106193 ÷ 131072     		x = 0.810188293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42837 ÷ 217
    42837 ÷ 131072     		y = 0.326820373535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810188293457031 × 2 - 1) × π
    0.620376586914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.94897053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326820373535156 × 2 - 1) × π
    0.346359252929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.08811968447565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94897053} λ = 1.94897053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08811968447565))-π/2
    2×atan(2.9686867534584)-π/2
    2×1.24588476374045-π/2
    2.4917695274809-1.57079632675     		φ = 0.92097320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94897053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.667786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92097320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.767877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106193 KachelY 42837 1.94897053 0.92097320 111.667786 52.767877
    Oben rechts KachelX + 1 106194 KachelY 42837 1.94901846 0.92097320 111.670532 52.767877
    Unten links KachelX 106193 KachelY + 1 42838 1.94897053 0.92094420 111.667786 52.766216
    Unten rechts KachelX + 1 106194 KachelY + 1 42838 1.94901846 0.92094420 111.670532 52.766216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92097320-0.92094420) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dl = 184.759000000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92097320-0.92094420) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dr = 184.759000000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94897053-1.94901846) × cos(0.92097320) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.605045590377428 × 6371000     		do = 184.757949720313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94897053-1.94901846) × cos(0.92094420) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.605068679656997 × 6371000     		du = 184.765000309593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92097320)-sin(0.92094420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605045590377428-0.605068679656997)×R²
    abs(1.94901846-1.94897053)×2.30892795685111e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30892795685111e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30892795685111e-05×40589641000000     		ar = 34136.345364776m²