Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106192 / 99888
↖ ↑ ↗
← S 68.187889°
E111.665039°		 ← 113.49 m → S 68.187889°
E111.667786°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 68.188910°
E111.665039°		 ← 113.48 m →
12 877 m²		 S 68.188910°
E111.667786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810184478759766 y=0.762088775634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810184478759766 × 217)
    floor (0.810184478759766 × 131072)
    floor (106192.5)     		tx = 106192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762088775634766 × 217)
    floor (0.762088775634766 × 131072)
    floor (99888.5)     		ty = 99888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106192 / 99888 ti = "17/106192/99888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106192/99888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106192 ÷ 217
    106192 ÷ 131072     		x = 0.8101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99888 ÷ 217
    99888 ÷ 131072     		y = 0.7620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8101806640625 × 2 - 1) × π
    0.620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94892259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.524169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64672837574817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94892259} λ = 1.94892259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64672837574817))-π/2
    2×atan(0.192679252686664)-π/2
    2×0.190346572511113-π/2
    0.380693145022227-1.57079632675     		φ = -1.19010318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94892259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19010318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.187889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106192 KachelY 99888 1.94892259 -1.19010318 111.665039 -68.187889
    Oben rechts KachelX + 1 106193 KachelY 99888 1.94897053 -1.19010318 111.667786 -68.187889
    Unten links KachelX 106192 KachelY + 1 99889 1.94892259 -1.19012099 111.665039 -68.188910
    Unten rechts KachelX + 1 106193 KachelY + 1 99889 1.94897053 -1.19012099 111.667786 -68.188910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19010318--1.19012099) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19010318--1.19012099) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94892259-1.94897053) × cos(-1.19010318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371564081172296 × 6371000     		do = 113.485234449394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94892259-1.94897053) × cos(-1.19012099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371547546179173 × 6371000     		du = 113.480184236884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19010318)-sin(-1.19012099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371564081172296-0.371547546179173)×R²
    abs(1.94897053-1.94892259)×1.65349931227632e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65349931227632e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65349931227632e-05×40589641000000     		ar = 12876.600457544m²