Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106190 / 42840
↖ ↑ ↗
← N 52.762892°
E111.659546°		 ← 184.78 m → N 52.762892°
E111.662292°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
N 52.761230°
E111.659546°		 ← 184.79 m →
34 140 m²		 N 52.761230°
E111.662292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810169219970703 y=0.326847076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810169219970703 × 217)
    floor (0.810169219970703 × 131072)
    floor (106190.5)     		tx = 106190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326847076416016 × 217)
    floor (0.326847076416016 × 131072)
    floor (42840.5)     		ty = 42840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106190 / 42840 ti = "17/106190/42840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106190/42840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106190 ÷ 217
    106190 ÷ 131072     		x = 0.810165405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42840 ÷ 217
    42840 ÷ 131072     		y = 0.32684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810165405273438 × 2 - 1) × π
    0.620330810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94882672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32684326171875 × 2 - 1) × π
    0.3463134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08797587377679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94882672} λ = 1.94882672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08797587377679))-π/2
    2×atan(2.96825985523869)-π/2
    2×1.24584125523511-π/2
    2.49168251047023-1.57079632675     		φ = 0.92088618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94882672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.659546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92088618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.762892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106190 KachelY 42840 1.94882672 0.92088618 111.659546 52.762892
    Oben rechts KachelX + 1 106191 KachelY 42840 1.94887465 0.92088618 111.662292 52.762892
    Unten links KachelX 106190 KachelY + 1 42841 1.94882672 0.92085718 111.659546 52.761230
    Unten rechts KachelX + 1 106191 KachelY + 1 42841 1.94887465 0.92085718 111.662292 52.761230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92088618-0.92085718) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dl = 184.758999999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92088618-0.92085718) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dr = 184.758999999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94882672-1.94887465) × cos(0.92088618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.605114872612289 × 6371000     		do = 184.779105884193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94882672-1.94887465) × cos(0.92085718) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.60513796036486 × 6371000     		du = 184.786156007186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92088618)-sin(0.92085718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605114872612289-0.60513796036486)×R²
    abs(1.94887465-1.94882672)×2.30877525708717e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30877525708717e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30877525708717e-05×40589641000000     		ar = 34140.254113275m²