Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106187 / 99919
↖ ↑ ↗
← S 68.219504°
E111.651306°		 ← 113.31 m → S 68.219504°
E111.654053°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
S 68.220523°
E111.651306°		 ← 113.30 m →
12 842 m²		 S 68.220523°
E111.654053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810146331787109 y=0.762325286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810146331787109 × 217)
    floor (0.810146331787109 × 131072)
    floor (106187.5)     		tx = 106187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762325286865234 × 217)
    floor (0.762325286865234 × 131072)
    floor (99919.5)     		ty = 99919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106187 / 99919 ti = "17/106187/99919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106187/99919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106187 ÷ 217
    106187 ÷ 131072     		x = 0.810142517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99919 ÷ 217
    99919 ÷ 131072     		y = 0.762321472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810142517089844 × 2 - 1) × π
    0.620285034179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.94868291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762321472167969 × 2 - 1) × π
    -0.524642944335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.64821441963639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94868291} λ = 1.94868291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64821441963639))-π/2
    2×atan(0.19239313550482)-π/2
    2×0.190070682620455-π/2
    0.380141365240909-1.57079632675     		φ = -1.19065496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94868291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.651306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19065496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.219504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106187 KachelY 99919 1.94868291 -1.19065496 111.651306 -68.219504
    Oben rechts KachelX + 1 106188 KachelY 99919 1.94873084 -1.19065496 111.654053 -68.219504
    Unten links KachelX 106187 KachelY + 1 99920 1.94868291 -1.19067275 111.651306 -68.220523
    Unten rechts KachelX + 1 106188 KachelY + 1 99920 1.94873084 -1.19067275 111.654053 -68.220523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19065496--1.19067275) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19065496--1.19067275) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94868291-1.94873084) × cos(-1.19065496) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371051748049267 × 6371000     		do = 113.305115019442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94868291-1.94873084) × cos(-1.19067275) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371035227979684 × 6371000     		du = 113.300070417458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19065496)-sin(-1.19067275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371051748049267-0.371035227979684)×R²
    abs(1.94873084-1.94868291)×1.65200695834145e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65200695834145e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65200695834145e-05×40589641000000     		ar = 12841.726056172m²