Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106186 / 99917
↖ ↑ ↗
← S 68.217466°
E111.648560°		 ← 113.34 m → S 68.217466°
E111.651306°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
S 68.218485°
E111.648560°		 ← 113.33 m →
12 838 m²		 S 68.218485°
E111.651306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810138702392578 y=0.762310028076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810138702392578 × 217)
    floor (0.810138702392578 × 131072)
    floor (106186.5)     		tx = 106186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762310028076172 × 217)
    floor (0.762310028076172 × 131072)
    floor (99917.5)     		ty = 99917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106186 / 99917 ti = "17/106186/99917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106186/99917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106186 ÷ 217
    106186 ÷ 131072     		x = 0.810134887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99917 ÷ 217
    99917 ÷ 131072     		y = 0.762306213378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810134887695312 × 2 - 1) × π
    0.620269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94863497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762306213378906 × 2 - 1) × π
    -0.524612426757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.64811854583715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94863497} λ = 1.94863497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64811854583715))-π/2
    2×atan(0.192411581849915)-π/2
    2×0.190088470482593-π/2
    0.380176940965186-1.57079632675     		φ = -1.19061939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94863497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.648560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19061939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.217466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106186 KachelY 99917 1.94863497 -1.19061939 111.648560 -68.217466
    Oben rechts KachelX + 1 106187 KachelY 99917 1.94868291 -1.19061939 111.651306 -68.217466
    Unten links KachelX 106186 KachelY + 1 99918 1.94863497 -1.19063717 111.648560 -68.218485
    Unten rechts KachelX + 1 106187 KachelY + 1 99918 1.94868291 -1.19063717 111.651306 -68.218485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19061939--1.19063717) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dl = 113.276380000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19061939--1.19063717) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dr = 113.276380000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94863497-1.94868291) × cos(-1.19061939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371084778550143 × 6371000     		do = 113.338843091339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94863497-1.94868291) × cos(-1.19063717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371068268001419 × 6371000     		du = 113.333800344777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19061939)-sin(-1.19063717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371084778550143-0.371068268001419)×R²
    abs(1.94868291-1.94863497)×1.65105487243689e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65105487243689e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65105487243689e-05×40589641000000     		ar = 12838.3282472191m²