Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106184 / 44872
↖ ↑ ↗
← N 49.253465°
E111.643067°		 ← 199.31 m → N 49.253465°
E111.645813°		 →
↑
199.35 m
↓
↑
199.35 m
↓
N 49.251672°
E111.643067°		 ← 199.32 m →
39 734 m²		 N 49.251672°
E111.645813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810123443603516 y=0.342350006103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810123443603516 × 217)
    floor (0.810123443603516 × 131072)
    floor (106184.5)     		tx = 106184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342350006103516 × 217)
    floor (0.342350006103516 × 131072)
    floor (44872.5)     		ty = 44872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106184 / 44872 ti = "17/106184/44872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106184/44872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106184 ÷ 217
    106184 ÷ 131072     		x = 0.81011962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44872 ÷ 217
    44872 ÷ 131072     		y = 0.34234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81011962890625 × 2 - 1) × π
    0.6202392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94853910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34234619140625 × 2 - 1) × π
    0.3153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.99056809374884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94853910} λ = 1.94853910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99056809374884))-π/2
    2×atan(2.69276378018365)-π/2
    2×1.21521572755741-π/2
    2.43043145511482-1.57079632675     		φ = 0.85963513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94853910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.643067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85963513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.253465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106184 KachelY 44872 1.94853910 0.85963513 111.643067 49.253465
    Oben rechts KachelX + 1 106185 KachelY 44872 1.94858703 0.85963513 111.645813 49.253465
    Unten links KachelX 106184 KachelY + 1 44873 1.94853910 0.85960384 111.643067 49.251672
    Unten rechts KachelX + 1 106185 KachelY + 1 44873 1.94858703 0.85960384 111.645813 49.251672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85963513-0.85960384) × R
    3.12900000000171e-05 × 6371000     		dl = 199.348590000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85963513-0.85960384) × R
    3.12900000000171e-05 × 6371000     		dr = 199.348590000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94853910-1.94858703) × cos(0.85963513) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.652713938744302 × 6371000     		do = 199.314053344378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94853910-1.94858703) × cos(0.85960384) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.652737643868252 × 6371000     		du = 199.321291989149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85963513)-sin(0.85960384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652713938744302-0.652737643868252)×R²
    abs(1.94858703-1.94853910)×2.37051239500019e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37051239500019e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37051239500019e-05×40589641000000     		ar = 39733.6970114797m²