Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106177 / 99907
↖ ↑ ↗
← S 68.207271°
E111.623840°		 ← 113.37 m → S 68.207271°
E111.626587°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 68.208291°
E111.623840°		 ← 113.36 m →
12 856 m²		 S 68.208291°
E111.626587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810070037841797 y=0.762233734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810070037841797 × 217)
    floor (0.810070037841797 × 131072)
    floor (106177.5)     		tx = 106177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762233734130859 × 217)
    floor (0.762233734130859 × 131072)
    floor (99907.5)     		ty = 99907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106177 / 99907 ti = "17/106177/99907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106177/99907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106177 ÷ 217
    106177 ÷ 131072     		x = 0.810066223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99907 ÷ 217
    99907 ÷ 131072     		y = 0.762229919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810066223144531 × 2 - 1) × π
    0.620132446289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.94820354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762229919433594 × 2 - 1) × π
    -0.524459838867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.64763917684095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94820354} λ = 1.94820354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64763917684095))-π/2
    2×atan(0.192503840107871)-π/2
    2×0.190177433551062-π/2
    0.380354867102124-1.57079632675     		φ = -1.19044146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94820354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.623840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19044146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.207271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106177 KachelY 99907 1.94820354 -1.19044146 111.623840 -68.207271
    Oben rechts KachelX + 1 106178 KachelY 99907 1.94825147 -1.19044146 111.626587 -68.207271
    Unten links KachelX 106177 KachelY + 1 99908 1.94820354 -1.19045926 111.623840 -68.208291
    Unten rechts KachelX + 1 106178 KachelY + 1 99908 1.94825147 -1.19045926 111.626587 -68.208291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19044146--1.19045926) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19044146--1.19045926) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94820354-1.94825147) × cos(-1.19044146) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371249998293738 × 6371000     		do = 113.365653116542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94820354-1.94825147) × cos(-1.19045926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37123347034842 × 6371000     		du = 113.360606109608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19044146)-sin(-1.19045926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371249998293738-0.37123347034842)×R²
    abs(1.94825147-1.94820354)×1.65279453180345e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65279453180345e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65279453180345e-05×40589641000000     		ar = 12855.8096784128m²