Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106176 / 99906
↖ ↑ ↗
← S 68.206252°
E111.621094°		 ← 113.39 m → S 68.206252°
E111.623840°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 68.207271°
E111.621094°		 ← 113.39 m →
12 859 m²		 S 68.207271°
E111.623840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810062408447266 y=0.762226104736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810062408447266 × 217)
    floor (0.810062408447266 × 131072)
    floor (106176.5)     		tx = 106176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762226104736328 × 217)
    floor (0.762226104736328 × 131072)
    floor (99906.5)     		ty = 99906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106176 / 99906 ti = "17/106176/99906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106176/99906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106176 ÷ 217
    106176 ÷ 131072     		x = 0.81005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99906 ÷ 217
    99906 ÷ 131072     		y = 0.762222290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81005859375 × 2 - 1) × π
    0.6201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94815560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762222290039062 × 2 - 1) × π
    -0.524444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64759123994133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94815560} λ = 1.94815560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64759123994133))-π/2
    2×atan(0.192513068366316)-π/2
    2×0.190186332036058-π/2
    0.380372664072117-1.57079632675     		φ = -1.19042366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94815560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.621094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19042366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.206252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106176 KachelY 99906 1.94815560 -1.19042366 111.621094 -68.206252
    Oben rechts KachelX + 1 106177 KachelY 99906 1.94820354 -1.19042366 111.623840 -68.206252
    Unten links KachelX 106176 KachelY + 1 99907 1.94815560 -1.19044146 111.621094 -68.207271
    Unten rechts KachelX + 1 106177 KachelY + 1 99907 1.94820354 -1.19044146 111.623840 -68.207271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19042366--1.19044146) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19042366--1.19044146) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94815560-1.94820354) × cos(-1.19042366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371266526121429 × 6371000     		do = 113.394353477792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94815560-1.94820354) × cos(-1.19044146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371249998293738 × 6371000     		du = 113.389305453789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19042366)-sin(-1.19044146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371266526121429-0.371249998293738)×R²
    abs(1.94820354-1.94815560)×1.65278276911263e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65278276911263e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65278276911263e-05×40589641000000     		ar = 12859.0643506812m²