Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106175 / 99905
↖ ↑ ↗
← S 68.205232°
E111.618347°		 ← 113.40 m → S 68.205232°
E111.621094°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 68.206252°
E111.618347°		 ← 113.39 m →
12 860 m²		 S 68.206252°
E111.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810054779052734 y=0.762218475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810054779052734 × 217)
    floor (0.810054779052734 × 131072)
    floor (106175.5)     		tx = 106175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762218475341797 × 217)
    floor (0.762218475341797 × 131072)
    floor (99905.5)     		ty = 99905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106175 / 99905 ti = "17/106175/99905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106175/99905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106175 ÷ 217
    106175 ÷ 131072     		x = 0.810050964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99905 ÷ 217
    99905 ÷ 131072     		y = 0.762214660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810050964355469 × 2 - 1) × π
    0.620101928710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.94810766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762214660644531 × 2 - 1) × π
    -0.524429321289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.64754330304171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94810766} λ = 1.94810766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64754330304171))-π/2
    2×atan(0.192522297067146)-π/2
    2×0.190195230917141-π/2
    0.380390461834282-1.57079632675     		φ = -1.19040586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94810766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.618347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19040586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.205232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106175 KachelY 99905 1.94810766 -1.19040586 111.618347 -68.205232
    Oben rechts KachelX + 1 106176 KachelY 99905 1.94815560 -1.19040586 111.621094 -68.205232
    Unten links KachelX 106175 KachelY + 1 99906 1.94810766 -1.19042366 111.618347 -68.206252
    Unten rechts KachelX + 1 106176 KachelY + 1 99906 1.94815560 -1.19042366 111.621094 -68.206252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19040586--1.19042366) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19040586--1.19042366) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94810766-1.94815560) × cos(-1.19040586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371283053831488 × 6371000     		do = 113.399401465868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94810766-1.94815560) × cos(-1.19042366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371266526121429 × 6371000     		du = 113.394353477792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19040586)-sin(-1.19042366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371283053831488-0.371266526121429)×R²
    abs(1.94815560-1.94810766)×1.6527710059111e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6527710059111e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6527710059111e-05×40589641000000     		ar = 12859.6368138449m²