Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106167 / 44970
↖ ↑ ↗
← N 49.077464°
E111.596375°		 ← 200.07 m → N 49.077464°
E111.599121°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
N 49.075665°
E111.596375°		 ← 200.07 m →
40 024 m²		 N 49.075665°
E111.599121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809993743896484 y=0.343097686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809993743896484 × 217)
    floor (0.809993743896484 × 131072)
    floor (106167.5)     		tx = 106167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343097686767578 × 217)
    floor (0.343097686767578 × 131072)
    floor (44970.5)     		ty = 44970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106167 / 44970 ti = "17/106167/44970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106167/44970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106167 ÷ 217
    106167 ÷ 131072     		x = 0.809989929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44970 ÷ 217
    44970 ÷ 131072     		y = 0.343093872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809989929199219 × 2 - 1) × π
    0.619979858398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.94772417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343093872070312 × 2 - 1) × π
    0.313812255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.985870277586075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94772417} λ = 1.94772417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985870277586075))-π/2
    2×atan(2.68014333844272)-π/2
    2×1.21367983334899-π/2
    2.42735966669799-1.57079632675     		φ = 0.85656334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94772417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.596375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85656334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.077464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106167 KachelY 44970 1.94772417 0.85656334 111.596375 49.077464
    Oben rechts KachelX + 1 106168 KachelY 44970 1.94777211 0.85656334 111.599121 49.077464
    Unten links KachelX 106167 KachelY + 1 44971 1.94772417 0.85653194 111.596375 49.075665
    Unten rechts KachelX + 1 106168 KachelY + 1 44971 1.94777211 0.85653194 111.599121 49.075665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85656334-0.85653194) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85656334-0.85653194) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94772417-1.94777211) × cos(0.85656334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655038057413947 × 6371000     		do = 200.065483413686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94772417-1.94777211) × cos(0.85653194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655061782801851 × 6371000     		du = 200.072729757843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85656334)-sin(0.85653194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655038057413947-0.655061782801851)×R²
    abs(1.94777211-1.94772417)×2.37253879041832e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37253879041832e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37253879041832e-05×40589641000000     		ar = 40023.7047343625m²