Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106165 / 44978
↖ ↑ ↗
← N 49.063069°
E111.590881°		 ← 200.12 m → N 49.063069°
E111.593628°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
N 49.061270°
E111.590881°		 ← 200.13 m →
40 048 m²		 N 49.061270°
E111.593628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809978485107422 y=0.343158721923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809978485107422 × 217)
    floor (0.809978485107422 × 131072)
    floor (106165.5)     		tx = 106165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343158721923828 × 217)
    floor (0.343158721923828 × 131072)
    floor (44978.5)     		ty = 44978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106165 / 44978 ti = "17/106165/44978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106165/44978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106165 ÷ 217
    106165 ÷ 131072     		x = 0.809974670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44978 ÷ 217
    44978 ÷ 131072     		y = 0.343154907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809974670410156 × 2 - 1) × π
    0.619949340820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.94762829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343154907226562 × 2 - 1) × π
    0.313690185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.985486782389114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94762829} λ = 1.94762829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985486782389114))-π/2
    2×atan(2.67911571340249)-π/2
    2×1.21355421317644-π/2
    2.42710842635288-1.57079632675     		φ = 0.85631210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94762829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.590881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85631210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.063069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106165 KachelY 44978 1.94762829 0.85631210 111.590881 49.063069
    Oben rechts KachelX + 1 106166 KachelY 44978 1.94767623 0.85631210 111.593628 49.063069
    Unten links KachelX 106165 KachelY + 1 44979 1.94762829 0.85628069 111.590881 49.061270
    Unten rechts KachelX + 1 106166 KachelY + 1 44979 1.94767623 0.85628069 111.593628 49.061270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85631210-0.85628069) × R
    3.1410000000065e-05 × 6371000     		dl = 200.113110000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85631210-0.85628069) × R
    3.1410000000065e-05 × 6371000     		dr = 200.113110000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94762829-1.94767623) × cos(0.85631210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65522787264891 × 6371000     		do = 200.123457872288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94762829-1.94767623) × cos(0.85628069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655251600422526 × 6371000     		du = 200.130704945103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85631210)-sin(0.85628069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65522787264891-0.655251600422526)×R²
    abs(1.94767623-1.94762829)×2.37277736157004e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37277736157004e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37277736157004e-05×40589641000000     		ar = 40048.0526593859m²