Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106159 / 100011
↖ ↑ ↗
← S 68.313072°
E111.574402°		 ← 112.87 m → S 68.313072°
E111.577148°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 68.314087°
E111.574402°		 ← 112.86 m →
12 742 m²		 S 68.314087°
E111.577148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809932708740234 y=0.763027191162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809932708740234 × 217)
    floor (0.809932708740234 × 131072)
    floor (106159.5)     		tx = 106159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763027191162109 × 217)
    floor (0.763027191162109 × 131072)
    floor (100011.5)     		ty = 100011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106159 / 100011 ti = "17/106159/100011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106159/100011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106159 ÷ 217
    106159 ÷ 131072     		x = 0.809928894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100011 ÷ 217
    100011 ÷ 131072     		y = 0.763023376464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809928894042969 × 2 - 1) × π
    0.619857788085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.94734067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763023376464844 × 2 - 1) × π
    -0.526046752929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.65262461440144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94734067} λ = 1.94734067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65262461440144))-π/2
    2×atan(0.191546512564038)-π/2
    2×0.189254150886477-π/2
    0.378508301772953-1.57079632675     		φ = -1.19228802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94734067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.574402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19228802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.313072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106159 KachelY 100011 1.94734067 -1.19228802 111.574402 -68.313072
    Oben rechts KachelX + 1 106160 KachelY 100011 1.94738861 -1.19228802 111.577148 -68.313072
    Unten links KachelX 106159 KachelY + 1 100012 1.94734067 -1.19230574 111.574402 -68.314087
    Unten rechts KachelX + 1 106160 KachelY + 1 100012 1.94738861 -1.19230574 111.577148 -68.314087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19228802--1.19230574) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19228802--1.19230574) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94734067-1.94738861) × cos(-1.19228802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369534774523508 × 6371000     		do = 112.865431964502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94734067-1.94738861) × cos(-1.19230574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369518308741994 × 6371000     		du = 112.860402890998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19228802)-sin(-1.19230574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369534774523508-0.369518308741994)×R²
    abs(1.94738861-1.94734067)×1.64657815140412e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64657815140412e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64657815140412e-05×40589641000000     		ar = 12741.5597438728m²