Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106151 / 42787
↖ ↑ ↗
← N 52.850889°
E111.552429°		 ← 184.41 m → N 52.850889°
E111.555175°		 →
↑
184.44 m
↓
↑
184.44 m
↓
N 52.849230°
E111.552429°		 ← 184.41 m →
34 012 m²		 N 52.849230°
E111.555175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809871673583984 y=0.326442718505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809871673583984 × 217)
    floor (0.809871673583984 × 131072)
    floor (106151.5)     		tx = 106151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326442718505859 × 217)
    floor (0.326442718505859 × 131072)
    floor (42787.5)     		ty = 42787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106151 / 42787 ti = "17/106151/42787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106151/42787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106151 ÷ 217
    106151 ÷ 131072     		x = 0.809867858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42787 ÷ 217
    42787 ÷ 131072     		y = 0.326438903808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809867858886719 × 2 - 1) × π
    0.619735717773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.94695718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326438903808594 × 2 - 1) × π
    0.347122192382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.09051652945666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94695718} λ = 1.94695718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09051652945666))-π/2
    2×atan(2.97581076957419)-π/2
    2×1.24660917229836-π/2
    2.49321834459672-1.57079632675     		φ = 0.92242202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94695718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.552429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92242202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.850889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106151 KachelY 42787 1.94695718 0.92242202 111.552429 52.850889
    Oben rechts KachelX + 1 106152 KachelY 42787 1.94700511 0.92242202 111.555175 52.850889
    Unten links KachelX 106151 KachelY + 1 42788 1.94695718 0.92239307 111.552429 52.849230
    Unten rechts KachelX + 1 106152 KachelY + 1 42788 1.94700511 0.92239307 111.555175 52.849230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92242202-0.92239307) × R
    2.89499999999165e-05 × 6371000     		dl = 184.440449999468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92242202-0.92239307) × R
    2.89499999999165e-05 × 6371000     		dr = 184.440449999468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94695718-1.94700511) × cos(0.92242202) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603891418567246 × 6371000     		do = 184.405509473387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94695718-1.94700511) × cos(0.92239307) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603914493392065 × 6371000     		du = 184.412555648735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92242202)-sin(0.92239307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603891418567246-0.603914493392065)×R²
    abs(1.94700511-1.94695718)×2.30748248190027e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30748248190027e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30748248190027e-05×40589641000000     		ar = 34012.4849519406m²