Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106145 / 99995
↖ ↑ ↗
← S 68.296826°
E111.535950°		 ← 112.92 m → S 68.296826°
E111.538696°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 68.297842°
E111.535950°		 ← 112.92 m →
12 755 m²		 S 68.297842°
E111.538696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809825897216797 y=0.762905120849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809825897216797 × 217)
    floor (0.809825897216797 × 131072)
    floor (106145.5)     		tx = 106145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762905120849609 × 217)
    floor (0.762905120849609 × 131072)
    floor (99995.5)     		ty = 99995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106145 / 99995 ti = "17/106145/99995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106145/99995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106145 ÷ 217
    106145 ÷ 131072     		x = 0.809822082519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99995 ÷ 217
    99995 ÷ 131072     		y = 0.762901306152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809822082519531 × 2 - 1) × π
    0.619644165039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.94666956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762901306152344 × 2 - 1) × π
    -0.525802612304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.65185762400751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94666956} λ = 1.94666956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65185762400751))-π/2
    2×atan(0.191693483254513)-π/2
    2×0.18939591620603-π/2
    0.378791832412061-1.57079632675     		φ = -1.19200449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94666956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.535950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19200449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.296826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106145 KachelY 99995 1.94666956 -1.19200449 111.535950 -68.296826
    Oben rechts KachelX + 1 106146 KachelY 99995 1.94671749 -1.19200449 111.538696 -68.296826
    Unten links KachelX 106145 KachelY + 1 99996 1.94666956 -1.19202222 111.535950 -68.297842
    Unten rechts KachelX + 1 106146 KachelY + 1 99996 1.94671749 -1.19202222 111.538696 -68.297842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19200449--1.19202222) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19200449--1.19202222) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94666956-1.94671749) × cos(-1.19200449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369798220534806 × 6371000     		do = 112.922335312965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94666956-1.94671749) × cos(-1.19202222) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369781747319324 × 6371000     		du = 112.917305018445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19200449)-sin(-1.19202222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369798220534806-0.369781747319324)×R²
    abs(1.94671749-1.94666956)×1.64732154812608e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64732154812608e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64732154812608e-05×40589641000000     		ar = 12755.1778500743m²